Ishlab chiquvchining ishi ko'pincha jumboqlarni hal qilish bilan taqqoslanishi mumkin

Pontryaginning maksimal printsipi

Maksimal printsipni shakllantirish. Maksimal printsip - optimal boshqarish muammolari uchun maxsus ishlab chiqilgan optimallashtirish usuli bo'lib, unda boshqaruv harakatlari cheklangan va bo'lak-bo'lak uzluksiz funktsiyalar bilan tavsiflanadi. Maksimal printsip akademik L.S.Pontryagin boshchiligidagi bir guruh olimlar tomonidan ishlab chiqilgan. 1956 yilda. Bu usul chiziqli bo'lmagan tizimlar uchun zaruriy optimallik sharti va chiziqli bo'lganlar uchun zarur va etarli shart sifatida asoslanadi. Vazifa quyidagicha tuzilgan.

CO tenglamalar sistemasi bilan tavsiflansin
x&i = fi (x1 , x2 ,..., xn ,u1 ,u2 ,...,ur ) , (7.45)
yoki vektor ko'rinishida x& = f (x, u), bu erda xT = [x ,..., x n ] - o'zgaruvchilar vektori
tizim holati, uT = [u ,...,u 1
r ] - boshqaruv harakatlarining vektori.
bitta
Boshqaruv u(t) chegaralangan yopiq domenga tegishli U r-choralar
boshqaruv fazosi va x(t) koordinatalari bo'lsa ham tegishli
n-o'lchovli holat fazosining cheklangan, ammo ochiq hududi X, ya'ni. u(t) nU , x(t) n X .
U domeniga tegishli boʻlak-boʻlak uzluksiz boshqaruvlar sinfidan (ruxsat berilgan boshqaruv elementlari) tarjima qiladigan boshqaruvni tanlash talab qilinadi.
boshqaruv ob'ekti berilgan boshlang'ich holati xi (t0 ) dan oxirgi holatga xi (t1)
(i = 1,..., n) va funksionalni minimallashtiradi
t1
J (x, u) = ò f0 (x, u)dt . (7,46)
t0
Biz fi (x, u) funktsiyalari aniqlangan va jami uzluksiz deb faraz qilamiz
x, u o'zgaruvchilari ularning qisman hosilalari bilan birga ¶fi . Qulaylik uchun

¶xi
Muammoni hal qilish uchun qo'shimcha x0 o'zgaruvchisi kiritiladi, shunda

129
x&0 = f0 (x,u) va x0 (t0 ) = 0 . (7,47)
Bu yerda f0(x,u) funksional (7.46) integralidir. Dastlabki (7.45) tenglamalar tizimiga (7.47) qoʻshib, n+1 tenglamalar sistemasiga ega boʻlamiz.
x&i = fi (x1, x2 ,..., xn ; u1, u2 ,...,un ) , i = 0,1,2,…, n, (7.48)
to'g'ri qismlari x0 ga bog'liq bo'lmagan.
(7.47) ni hisobga olgan holda J funktsional x0 o'zgaruvchining yakuniy qiymati sifatida qaralishi mumkin:
t1
J (x, u) = ò x&0dt =x0 (t1) , (7.49)
t0
va yuqorida tuzilgan masala x0 koordinatasining yakuniy qiymatining ekstremumiga erishish masalasiga keltiriladi.
Maksimal printsipni shakllantirishga o'tishdan oldin, tizim tomonidan aniqlanadigan Y0 (t), Y1 (t),..., Yn (t) yordamchi o'zgaruvchilar tushunchasini kiritamiz.
mening chiziqli bir hil tenglamalarim:
& n ¶f j (x,u)
Yi (t) = - å Yj (t) , i = 0,1,...,n. (7,50)
j =0 ¶xi
(7.48) va (7.50) tenglamalar tizimlarini yordamchi funktsiyani kiritish orqali bir belgida birlashtirish mumkin.
n
H (Y, x,u) = åYi (t) fi (x,u) . (7,51)
i=0
H funktsiyasining Yi va xi ga nisbatan qisman hosilalarini aniqlab, (7.48),
(7.50) va (7.51) biz buni topamiz
dxi = ¶H , i = 0,1,...,n. (7,52)
¶Y
dt
i
dYi = - ¶H , i = 0,1,...,n. (7,53)
dt ¶xi
X(t) va Y(t) vektor funksiyalari uzluksiz va uzluksiz hosilalarga ega va x(t) va Y(t) ning belgilangan qiymatlari uchun H funksiya funksiyaga aylanadi.
130
u faqat sizni boshqaradi. (7.52) va (7.53) ko'rinishdagi tenglamalar kanonik konjugat deb ataladi va nazariy mexanikadan ma'lum bo'lgan kanonik Gamilton tenglamalari bilan shaklga mos keladi. Shu munosabat bilan H funktsiyasi chaqiriladi