Использование производной для решения

Hosilni yechishda foydalanish
tenglamalar va tengsizliklar
Biragova L.L. MBOU litseyi, Vladikavkaz
Tenglama yoki tengsizlikni yechishda ko'pincha unga kiritilgan funktsiyalarning ma'lum bir oralig'ida o'sish (kamayish) ni isbotlash foydali bo'ladi. Bunday holda, lotinlar ko'pincha ishlatiladi.
1-misol
Keling, tenglamani yechamiz
. (1)
Yechim.
Funktsiyani ko'rib chiqaylik . Ushbu funktsiyaning mavjudlik sohasi intervaldir . f ( x ) funksiyasi X oralig'ida musbat hosilaga ega .
Binobarin, f ( x ) funksiyasi X oraliqda ortadi va u shu oraliqda uzluksiz bo'lgani uchun u o'zining har bir qiymatini aynan bitta nuqtada oladi. Bu esa (1) tenglamaning bittadan ortiq ildizga ega emasligini bildiradi. Raqam (1) tenglamani qanoatlantirishini tushunish oson . Shuning uchun (1) tenglama bitta ildizga ega .
Javob: -1.


2-misol
Keling, tengsizlikni hal qilaylik
(2)
Yechim .
f ( x )= funktsiyasini ko'rib chiqaylik . X = oraliqdagi bu funktsiya shu oraliqda musbat bo'lgan hosilaga ega bo'lgani uchun f ( x ) funksiyasi X oralig'ida ortadi . f funktsiyasi X oralig'ida uzluksiz bo'lganligi sababli, u o'zining har bir qiymatini aniq bir nuqtada oladi. Demak, f ( x )=0 tenglama ko‘pi bilan bitta ildizga ega bo‘lishi mumkin. Bu raqam f ( x )=0 tenglamaning ildizi ekanligini tushunish oson . f ( x ) funksiya uzluksiz va X oraliqda ortib borgani uchun x <0 uchun f ( x )< 0 va x >0 uchun f ( x ) >0 bo'ladi . Demak, (2) tengsizlikning yechimlari oraliqdan hammasi x .
Javob: .


3-misol
Tenglamaning nechta haqiqiy ildizi borligini aniqlang:
. (1)


Yechim.
Funktsiyani ko'rib chiqaylik . Bu oraliqda hosilasi bor .
hosila quyidagi nuqtalarda yo'qoladi: va . Chunki har qanday x oraliqlar uchun va , keyin intervallarning har birida va funksiya ortadi. Chunki oraliqdan istalgan x uchun , u holda funksiya intervalda kamayadi.
, , , va funksiya , va oraliqlarining har birida uzluksiz bo'lganligi sababli , ularning har birida bu funktsiya yo'q bo'lib ketadigan yagona nuqta mavjud. Shuning uchun funktsiya uchta nolga ega, ya'ni. (1) tenglama uchta haqiqiy ildizga ega.
Javob: uchta haqiqiy ildiz.
4-misol
Tenglamani yeching:
(1)
Yechim.

(1) tenglamaning ikkala qismi oraliqda aniqlanadi . Funktsiyani ko'rib chiqing

.
Intervaldagi bu funksiya hosilaga ega
,
Bu bir nuqtada yo'qoladi.Funktsiya segmentda uzluksiz bo'lganligi sababli , u ushbu segmentda o'zining maksimal va minimal qiymatlariga etadi. Ular raqamlar qatoriga kiradi , , .
Chunki , u holda funksiya bitta nuqtada segmentdagi maksimal qiymat 2 ga etadi . Shuning uchun (1) tenglama bitta ildizga ega .
Javob: 3.