Исторические сведения о теории вероятности и математической статистики

Развитие идей Бернулли[править | править код]

Трактат де Муавра
«Учение о случаях»
Трактат Якоба Бернулли вызвал резкий подъём интереса к вероятностным проблемам и рост числа исследований новых задач. Абрахам де Муавр опубликовал несколько работ, среди которых наиболее интересны статья «Об измерении случайности, или вероятностях результатов в азартных играх» (1711) и трактат «Учение о случаях» (1718), выдержавший в XVIII веке три издания. В этом трактате Муавр не только полностью решил упоминавшуюся выше «задачу о разорении игрока», но и оценил для неё среднюю продолжительность игры и вероятности выигрыша за заданное число игр для каждого игрока^[11][29]. В другой работе, называвшейся «Аналитическая смесь», Муавр дал первый вариант теоремы Муавра—Лапласа, исследующей распределение возможных отклонений статистической частоты от вероятности. Муавр рассмотрел только случай, когда вероятность равна 1/2, общий же случай для любой вероятности доказал Лаплас^[30]. Ещё одним достижением Муавра стало первое введение в науку нормального распределения (1733), которое появилось у него как аппроксимация биномиального распределения^[31].
Даниил Бернулли, племянник основателя теории вероятностей, также внёс вклад в эту науку. Он, независимо от Муавра, исследовал нормальное распределение для ошибок наблюдений, первым применил к вероятностным задачам методы математического анализа, опубликовал первый из вероятностных парадоксов (1738)^[32].
Следующий важный шаг сделал английский математик Томас Симпсон, который в ходе занятий численным анализом в книге «Природа и законы случая» (1740) фактически использовал третье (наряду с классическим и статистическим) определение вероятности — геометрическое, пригодное для исследования непрерывных случайных величин с бесконечным числом значений. В задаче XXVI Симпсон нашёл вероятность того, что наудачу брошенный на плоскость параллелепипед остановится на заданной своей грани^[33].

Задача об игле Бюффона
Подход Симпсона развил Жорж-Луи де Бюффон, который в 1777 году привёл классический пример задачи на геометрическую вероятность^[31]. Это была занимавшая впоследствии многих математиков «задача Бюффона о бросании иглы»: плоскость разграфлена «в линейку», на неё наудачу бросается игла, требуется найти вероятность того, что игла пересечёт линию^[33]. Если длина иглы {\displaystyle a}  меньше, чем расстояние между линиями {\displaystyle l} , то искомая вероятность равна {\displaystyle {\frac {2a}{\pi l}}} . Данная формула была несколько раз проверена экспериментально, в том числе самим Бюффоном, а в 1901 году итальянский математик Марио Лаццарини (Mario Lazzarini) использовал её для опытного определения числа {\displaystyle \pi } . Задача Бюффона, её анализ и различные модификации обсуждались математиками многие годы^[34].
Была решена важнейшая задача расчёта вероятности для сложных событий. Английский математик Томас Байес первым в отчётливом виде привёл теорему сложения вероятностей для нескольких несовместимых событий и основополагающие в теории вероятностей и статистике «формулы Байеса» (1763 год, опубликованы посмертно). В современной терминологии формулы Байеса позволяют рассчитать условную вероятность, а также уточнить рассчитанную вероятность после получения новых данных. Теорему умножения вероятностей ранее открыл Муавр (1718 год) и дал ей вполне современную, хотя и словесную формулировку: «вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятности появления одного из них на вероятность того, что другое должно появиться, если первое из них уже появилось»^[35].
К середине XVIII века анализ игр всё ещё привлекает некоторый интерес — например, Леонард Эйлер дал подробный анализ разных типов лотерей^[36], но центром внимания математиков всё в большей степени становятся демографическая статистика, страхование и оценка ошибок (измерения, округления и т. п.). Статистике и страхованию Эйлер посвятил немало работ; он, в частности, решал задачу: оценить по статистическим таблицам, какова вероятность того, что человек в возрасте {\displaystyle m}  лет проживёт ещё {\displaystyle n}  лет