Iyul-sentabr

Основная часть. Расположим центр оси штока по оси О𝑥. Тогда сила сопротивления жидкости в цилиндре будет иметь вид:
𝐹 = ±𝜇𝑆 ^𝑑𝑢 , Па·с, (1)
𝑑𝑥
где 𝜇 – вязкость, Па·с; 𝑆 – площадь поперечного сечения, мм²; ^𝑑𝑢 – скорость течения
𝑑𝑥
жидкости, мм/с.
Давление жидкости в гидроцилиндре выражается формулой
𝑝 = ^𝐹 (или 𝐹 = 𝑝𝑆), Па. (2)
𝑆
Из формул (1) и (2) получим:

Сокращая на 𝑆 имеем:
𝑝𝑆 = ±𝜇𝑆 ^𝑑𝑢.
𝑑𝑥


𝑝 = ±𝜇 ^𝑑𝑢, Па. (3)
𝑑𝑥

Из равенства (3) определим вязкость жидкости:

𝑑𝑢
𝜇 = ^𝑝 , Па·с. (4)
𝑑𝑥
Текучесть жидкости является обратным свойством к вязкости. Обозначив её через 𝜎_т, получим:

𝑑𝑢
𝜎 = ¹ = ^𝑑𝑥 , ¹

. (5)

т _𝜇

𝑝 Па∙с

Если из уравнения (3) выразить скорость движения жидкости по гидроцилиндру, то оно имеет следующий вид:
^𝑑𝑢 = ^𝑝 . (6)
𝑑𝑥 𝜇
Это означает, что скорость жидкости постоянная.
Уравнение (6) является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными.
Решая уравнение (6), получим

где 𝐶 – интегральная постоянная.

𝑢 =
^𝑝 𝑥 + 𝐶, (7)
𝜇

Интегральную постоянную 𝐶 можно найти, используя начальные условия 𝑢 = 𝑢₀ при
𝑥 = 0 (здесь 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙, 𝑙–длина штока). Подставляя эти выражения в уравнение (7), находим 𝐶:

𝑝
𝑢₀ = 0 + 𝐶, откуда 𝐶 = 𝑢₀ . Тогда

𝑢 =
𝑥 + 𝑢 . (8)

0
𝜇

Из этого следует, что функция скорости является линейной функцией. В этом случае делаем вывод, что эпюра (траектория) функции скорости является прямой линией.
Так как скорость движения жидкости является постоянной, то ускорение будет равно нулю, т.е.

= (
𝑑²𝑢 𝑝 ^′
𝑑𝑥^{2 )}
= 0.

𝜇
Теперь, когда получено выражение для определения вязкости (4), используя данные по давлению и скорости движения жидкости, можно вычислить его значение, когда жидкость отвечает техническим требованиям. Используя полученные экспериментальные данные для давления 𝑝 = 38 МП𝑎, 𝑙_мах = 2120 мм (длина штока), вычислим значение вязкости 𝜇. [2]
Учитывая время движения штока по гидроцилиндру (вперед или назад), получим скорость движения жидкости:

Тогда
𝑑𝑢



𝑑𝑥
𝑙 2120 мм
= =
𝑡 4 𝑐
2,12 м
=
4 𝑐
= 0,53 м/с.

𝜇 =
𝑝

𝑑𝑢
𝑑𝑥
= ^{38 МП𝑎} = 7,17 МП𝑎 ∙ с/м. (9)
0,53 м/𝑐

Учитывая вышесказанное и используя экспериментальные данные, можно вычислить вязкость, текучесть и давление жидкости при применении уплотнительного защитного кольца и без него. В итоге, сравнивая полученные результаты во всех случаях, можно сделать окончательные выводы.

Нужно отметить, что в дальнейшем при использовании в расчетах величину загрязняющих веществ 𝐺_загр учтем, что 𝐺_загр состоит из суммарных загрязняющих веществ, состоящих из кремния 𝐺_кр, натрия 𝐺_нр, калия 𝐺_к, воды 𝐺_в и других видов загрязняющих веществ, которые появляются в зависимости от погодных условий, географического расположения месторождения, климатических условий и т.д. Его обозначим в виде:
𝐺_загр = 𝐺_кр + 𝐺_нр + 𝐺_к + 𝐺_в + ⋯ + 𝐺_𝑛.
Рассуждая о том, что, если в жидкость попадает грязь, то она становится более вязкой, придем к выводу о пропорциональности вязкости и загрязнения, причем она линейна.
В этом случае математическая модель, исходя из (3), имеет следующий вид:

^{𝑝 ∙ 𝐺}загр
= 𝑝(𝐺_кр
+ 𝐺_нр
+ 𝐺_к
+ 𝐺_в
+ ⋯ + 𝐺_𝑛
) = 𝜇 ^𝑑𝑢. (10)
𝑑𝑥

Отсюда определим давление жидкости с учетом загрязняющих веществ:
_𝜇∙𝑑𝑢 _𝜇∙𝑑𝑢
𝑝 = ^𝑑𝑥 = ^𝑑𝑥 , Па. (11)

^𝐺загр
(𝐺_кр+𝐺_нр+𝐺_к+𝐺_в+⋯+𝐺_𝑛)

С учетом выражения (4) получим формулу определения вязкости:
_{𝜇 =} 𝑝∙𝐺_{загр =} 𝑝(𝐺_кр+𝐺_нр+𝐺_к+𝐺_в+⋯+𝐺_𝑛)_{, Па·с. (12)}

𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥

Учитывая, что 𝜇 = 7,17 МП𝑎 ∙ с/м, 𝐺_загр = 68,71 мг/кг – общее количество загрязняющих веществ без применения защитного кольца, 𝐺_загр = 30,2 мг/кг – при использовании защитного кольца и u=0.53 м/с скорость движения жидкости можно определить давление, вязкость и текучесть жидкости. [3]
Эксперимент проводился на гидроцилиндре гидравлического экскаватора марки RH-
40E. В нем установили защитное кольцо и в течение 3000 мото/часов эксплуатации наблюдали за работой гидроцилиндра, фиксируя данные каждый 500 мото/часов (от 500 до 3000).
Вместимость жидкости гидроцилиндра – 40 л. В дальнейших расчетах использованы эти данные.
Так как 1 л ≈ 900 гр = 0,9 кг, то 40 л = 40 ∙ 0,9 = 36 кг. Учитывая этот факт, вычислим общую величину загрязнения с использованием уплотнителя и без него:

𝐺₁
𝐺₂
= 30,2 ^мг ∙ 36 кг = 108,72 мг − с использованием уплотнителя,
кг
= ^68,71мг ∙ 36кг = 247,356 мг – без использования уплотнителя.
кг

Используя полученные данные, вычислим, сколько процентов составляют загрязнения относительно общей массы жидкости.
Процентное отношение с использованием уплотнителя – 1,08:36=0,03=3%.
Процентное отношение без уплотнителя – 2,474:36=0,069=6,9%.
Тогда, для давления на жидкость имеем:

• 
  в случае с уплотнителем 3:38=0,0789=7,89 МПа.
  

Отсюда
𝑝₁ = 38Мпа+7,89 МПа=45,89 МПа;

• 
  в случае без уплотнителя 6,9:38=18,16 МПа,
  

тогда
𝑝₂ = 38МПа + 18.16 МПа = 56,16 МПа.
В итоге получим следующие результаты:

1. 
   давление на жидкость в номинале – 𝑝 = 38 МПа;
   
2. 
   давление на жидкость с уплотнителем – 𝑝₁ ≈ 45,89 МПа;
   
3. 
   давление на жидкость без уплотнителя – 𝑝₂ ≈ 56,16 МПа.
   

Графическое изображение давления жидкости различного значения продемонстрировано на рис.1.
Дальнейшие вычисления проведены с учетом полученных данных для давления на жидкость.
Вязкость жидкости

• 
  в случае с уплотнителем:
  

_{𝜇 =} 𝑝∙𝐺_{1 =} 45,89 МП𝑎∙108,72 мг/кг



^с (13)

1

– в случае без уплотнителя:

𝑑𝑢
𝑑𝑥
≈ 9,4 МП𝑎 ∙ ;
0,53 м/с м

_{𝜇 =} 𝑝∙𝐺_{2 =} 56,16∙247,356 мг/кг _{≈ 26,2 МП𝑎 ∙ с/м. (14)}

2 𝑑𝑢
𝑑𝑥
0,53 м/с

В итоге получим следующие результаты для вязкости:

1. 
   вязкость жидкости в номинале – 𝜇 = 7,17 МП𝑎 ∙ с/м;
   
2. 
   вязкость жидкости с уплотнителем – 𝜇₁ ≈ 9,6 МП𝑎 ∙ с/м;
   
3. 
   вязкость жидкости без уплотнителя – 𝜇₂ ≈ 26,2 МП𝑎 ∙ с/м.
   

Графическое изображение вязкости жидкости различного значения показано на рис.
2.