К т. н., доцент, фгбоу во «огу им. И. С. Тургенева» Студент, фгбоу во «огу им. И. С. Тургенева»

---

 
к.т.н., доцент, ФГБОУ ВО «ОГУ им. И.С. Тургенева» 
Студент, ФГБОУ ВО «ОГУ им. И.С. Тургенева» 
Студент, ФГБОУ ВО «ОГУ им. И.С. Тургенева» 
 
Аннотация: данная статья посвящена анализу взаимосвязи креативности и продуктивности в 
математике. Авторами рассматривается значение креативного подхода как к решению простейших 
математических задач, так и, в целом, к исследовательской научной деятельности с целью 
формирования новых законов в области математики. При этом приводятся яркие примеры 
действенности подобного подхода, в частности уделяется много внимания нестандартному 
математическому анализу. 
Ключевые слова: креативность, продуктивность, математика, креативное мышление. 
PRODUCTIVITY AND CREATIVITY IN MATHEMATICS 
 
Poturaeva Tatyana Vyacheslavovna, 
Bobkov Alexey Sergeevich, 
Troshin Mikhail Yurievich 
Abstract: this article is devoted to the analysis of the relationship between creativity and productivity in math-
ematics. The authors consider the value of the creative approach as a solution to the simplest mathematical 
problems, and, in general, to research scientific activity with the aim of forming new laws in the field of mathe-
matics. In this case, vivid examples of the effectiveness of this approach are given, in particular, much atten-
tion is paid to non-standard mathematical analysis. 
Key words: creativity, productivity, mathematics, creative thinking.
 
Математика – невероятно масштабная и объемная наука. Предметная область математики – 
это числа (числа в информации, пространстве). Как и любая наука, математика позволяет решать 
определенные задачи, и главные средства для этого-формулы, уравнения, графики. Как известно, ма-
тематика с трудом дается многим людям из-за своей многомерности, абстрактности и объемности. По-
рой, чтобы решить поставленную задачу, необходимо задействовать немало законов и теорем и, пока 
мозг будет вспоминать и обрабатывать всю необходимую информацию, наступит усталость и он по-
просту уже не сможет апеллировать тем объемом знаний, который необходим для решения той самой 
задачи. В таком случае продуктивность очень мала.[1] 
Что же такое продуктивность? По сути, это способность человека полностью реализовывать 
свои возможности, умение придти к цели наиболее верным и быстрым путем. Если представить лю-
бую деятельность в виде очков в игре, то чем выше продуктивность человека, тем больше этих самых 

---

очков он получает. Так вернемся же к математике. Как получить больше этих самых очков при решении 
поставленных задач? Что позволяет работать с этими объемами информации и решать поставленные 
вопросы? Креативность. Креативность, сама по себе, это умение человека глубже или по-новому 
взглянуть на вещь, умение мыслить созидательно - творчески. В математике это очень важно. Вспом-
нить хотя бы самое простое и всем с начальной школы известное определение биссектрисы угла тре-
угольника: «Биссектриса-это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам». Это определение 
не одному поколению детей позволило на всю жизнь усвоить это значение. А все потому, что здесь вся 
нужная информация преподносится в неком ассоциативном ключе и гораздо проще представить эту 
самую «крысу в углу», чем какую-то безмерную абстрактную линию.[2]
И такое встречается дальше на протяжении всей «математической жизни» человека. Для того, 
чтобы гораздо быстрее и с той же точностью выполнять расчеты, люди сами для себя придумывают 
подобные образы или конструкции, с помощью которых могут разложить целую теорему на пять слов. 
Например, самым, можно сказать, распространенным действием с углом является нахождение его си-
нуса, косинуса, тангенса, котангенса. Это то, что необходимо знать, но мозг вновь нагружается боль-
шими определениями, такими, как «синус-это отношение противолежащего гипотенузе катета к при-
лежащему», что пока обучающийся спроецирует его у себя в голове, успеет забыть, зачем ему это во-
обще было нужно. Поэтому творческий подход позволяет уместить определение в 3 слова «Синус –
Проги – Приги», то есть взять первые буквы ключевых слов и отбросить лишнее. Подобное позволяет 
оставить в мозгу место для усвоения более сложной и многомерной информации, чтобы в дальнейшем 
так же превратить ее в упрощение. Таким образом, мозг становится заполнен подобными ассоциация-
ми, метафорами и упрощениями, и такой информации помещается гораздо больше, от чего человек с 
таким творческим подходом может быть гораздо более продуктивным и получить больше тех «очков» в 
игре. Здесь креативность работает как инструмент сокращений уже существующих правил, законов или 
постулатов. Творчество мозга направлено на образование в основном новой формы, но не новой идеи. 
Но способна ли креативность позволить шагнуть в неизвестное, то есть проникнуть в сами законы?
Ответ однозначный: «Да». Как известно, любое новое – это то, чему пришлось спорить со старым, то 
есть «новое» это часто переосмысленное старое, улучшение того, что уже устоялось или даже полный 
противовес этому. Иначе говоря, каждому новому правилу приходится взаимодействовать со старым, 
нередко вытесняя его. Здесь проявляется креативность, как творческая деятельность, связанная с по-
иском новых путей, новых закономерностей, аксиом. И наглядным результатом такой деятельности 
стал нестандартный математический анализ. 
Нестандартный анализ представляет собой альтернативный подход к обоснованию математиче-
ского анализа, в котором бесконечные числа представляют особый вид чисел. Он возник в 1960 году, 
когда Абрахам Робинсон, специалист по теории моделей, сделал доклад на одном из семинаров Прин-
стонского университета о возможности применения методов математической логики к обоснованию 
математического анализа.[3] 
Нестандартный анализ можно сравнить с мостом, который перебросили через реку. Постройка 
моста не расширяет доступной нам территории, но сокращает путь с одного берега на другой. Подоб-
ным образом нестандартный анализ делает доказательства многих теорем короче.[1] 
Однако главное значение нестандартного анализа состоит в другом. Язык нестандартного анали-
за оказался удобным средством построения математических моделей физических явлений. Поэтому 
идеи и методы нестандартного анализа могут стать важной частью будущей физической картины мира.
Уже на сегодняшний момент многие специалисты по математической физике активно применяют не-
стандартный анализ в своей работе.[4] 
Нестандартный анализ возник как раздел математической логики, посвященный приложе-
нию теории нестандартных моделей к исследованиям в традиционных областях математи-
ки: математическом анализе, теории функций, теории дифференциальных уравнений, топологии и др. 
В 1961 г. появилась статья А. Робинсона «Нестандартный анализ» в Трудах Нидерландской ака-
демии наук. В статье намечены как основные положения нестандартного анализа, так и некоторые его 
приложения. В этой статье Робинсон, в частности, писал: “Наша главная цель - показать, что эти моде-

---

ли дают естественный подход к старой почтенной проблеме построения исчисления, включающего 
бесконечно большие и бесконечно малые количества. Как хорошо известно, использование бесконечно 
малых, настойчиво защищаемое Лейбницем и без колебании принимаемое Эйлером, было дезавуиро-
вано с появлением методов Кошн, поставивших математический анализ на твердую основу”.[5] 
В течение последующих восьми лет вышли в свет три монографии, излагающие нестандартную 
теорию. Наибольший резонанс вызвала книга Робинсона. В девяти первых главах этой монографии 
содержалось как построение необходимого логико-математического аппарата, так и многочисленные 
приложения к дифференциальному и интегральному исчислению, к общей топологии, к теории функций 
комплексного переменного, к гидродинамике и теории упругости.[6] 
Приложения нестандартного анализа в математике охватывают обширную область от топологии 
до теории дифференциальных уравнений, теории мер и вероятностей. Многообещающим выглядит 
использование нестандартного гильбертова пространства для построения квантовой механики. А в 
статистической механике становится возможным рассматривать системы из бесконечного числа ча-
стиц. Помимо применений к различным областям математики, исследования в области нестандартного 
анализа включают в себя и исследование самих нестандартных структур.[2] 
В 1976 г. вышли сразу три книги по нестандартному анализу: “Элементарный анализ” и “Основа-
ния исчисления бесконечно малых” Г. Дж. Кейслера и “Введение в теорию бесконечно малых” К. Д. 
Стройана и В. А. Дж. Люксембурга. 
Быть может, наибольшую пользу нестандартные методы могут принести в области прикладной 
математики. В 1981 г. вышла книга Р. Лутца и М. Гозе “Нестандартный анализ: практическое руковод-
ство с приложениями”. В этой книге после изложения основных принципов нестандартного анализа 
рассматриваются вопросы теории возмущений.[4] 
В настоящее время нестандартный анализ завоёвывает всё большее признание. Состоялся ряд 
международных симпозиумов, специально посвященных нестандартному анализу и его приложениям. 
В течении последнего десятилетия нестандартный анализ (точнее, элементарный математический 
анализ, но основанный на нестандартном подходе) преподавался в ряде высших учебных заведений 
США.[6] 
Таким образом, легко убедиться в том, какая связь лежит между «Креативность» и «Продуктив-
ность» в математике. Начиная на самом простом, и даже детском, и, заканчивая целой частью матема-
тической теории, - креативность всегда делает много полезного для продуктивности. И можно сказать, 
что одной из главных задач преподавания математики является развитие креативности в мышлении.