Kalkulus 1 Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya setiap saat diberikan oleh s = f(t). Pada saat t = c benda berada di f

 

 

Kalkulus 

1 

Misal  sebuah  benda  bergerak  sepanjang  garis 

koordinat  sehingga  posisinya  setiap  saat  diberikan 

oleh s = f(t). Pada saat t = c  benda berada di f(c) dan 

saat t = c + h benda berada di f(c+h). 

Sehingga  kecepatan  rata-rata  pada  selang  waktu 

[c,c+h] adalah 

 

Pertemuan 5 TURUNAN 

Garis Singgung 

 

Kecepatan Sesaat 

 

 

 

Jika h 0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c : 

 

 

 

Misal x = c + h, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk 

 

 

 

Definisi Turunan di Satu Titik 

Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan kecepatan sesaat terlihat bahwa dua 

masalah tersebut berada dalam satu tema, yaitu turunan. 

Turunan pertama fungsi f  di titik x = c, notasi              didefinisikan sebagai berikut: 

 

                        

bila limit di atas ada. 

Notasi lain: 

 

Kemiringan tali busur PQ adalah : 

 

Jika  x     c  , maka  tali  busur PQ    akan  berubah 

menjadi  garis  singgung  di  titik  P  dengan 

kemiringan 

 

h

c

f

h

c

f

v

v

h

rata

rata

h

)

(

)

(

lim

lim

0

0















c

x

f(c)

f(x)

v

c

x









lim

)

(

' c

f

c

x

f(c)

f(x)

c

f

c

x









lim

)

(

'

)

(

'

,

)

(

c

y

dx

c

df

Turunan 

 

------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. ------------------------------------------- 

2 

 

Contoh 

 

 

 

 

 

 

 

Turunan Sepihak 

Turunan kiri dari fungsi  f di titik c, didefinisikan sebagai : 

 

 

 

Turunan kanan dari fungsi  f di titik c, didefinisikan sebagai : 

       

 

bila limit ini ada. 

 

Fungsi  f  dikatakan mempunyai  turunan (diferensiabel)  di c  atau             ada, jika 

 

 

                                                                           

sebaliknya  f  dikatakan tidak mempunyai turunan di c. 

Contoh  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Teorema 

 

Jika f diferensiabel di c, maka f kontinu di c. 

Sifat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya, jika f  kontinu di c, maka belum tentu  f  

diferensiabel di c. 

 

 

Tentukan 𝑓 ′(3) dari 𝑓(𝑥) =

 

Jawab: 

 

 

Diketahui 

. Selidiki apakah f(x) diferensiabel di x=1! 

Jawab: 

 

a.  

 

 

b. 

 

Jadi, f  diferensiabel di x=1 dan  f ’(1)=1. 











3

3

3

3

x

)

f(

f(x)

lim

)

f'(

x

3

3

1

1

lim

3







x

x

x











)

x(x

x

x

3

3

3

lim

3

)

x(x

x

x

3

3

)

3

(

lim

3









9

1

3

1

lim

3











x

x

c

x

c

f

x

f

c

f

c

x













)

(

)

(

lim

)

(

'

c

x

f(c)

f(x)

(c)

f

c

x

'













lim

)

(

' c

f

)

c

(

f

)

c

(

f

'

'







)

c

(

f

)

c

(

f

)

c

(

'

f

'

'

_







dan

1

1

1

1













x

)

(

f

)

x

(

f

lim

)

(

f

x

'

1

1

2

1

3

2

1















x

)

(

x

x

lim

x

1

2

1









x

x

x

lim

x

1

1

1

1











x

)

x

(

x

lim

x

1

1

1

1













x

)

(

f

)

x

(

f

lim

)

(

f

x

'

1

1

2

1

2

1

1













x

)

(

x

lim

x

1

2

2

1









x

x

lim

x

1

1

1

1

2

1













)

x

)(

x

(

x

lim

x

Turunan 

 

------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. ------------------------------------------- 

3 

Contoh 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Definisi Turunan 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tentukan konstanta a dan b agar fungsi f(x) berikut diferensiabel di x=1; 

 

Jawab : Agar f(x) terdiferensialkan di x = 1, haruslah 

a. f kontinu di x = 1 (syarat perlu) 

b.  Turunan kiri = turunan kanan di x = 1 (syarat cukup) 

f kontinu di x = 1 jika f kontinu kiri dan kontinu kanan di x = 1 atau 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Supaya f direfersiabel di x=1 maka 

sehingga diperoleh : a = 2 dan b = 1. 

 

Misalkan  f  (x)  terdefinisi  pada  selang  I.  Fungsi  turunan  pertama  dari  f,  ditulis 

,  

didefinisikan sebagai 

 

Atau jika t=x+h, maka 

 

Jika limit tersebut ada. 

Notasi lain:  

 

Notasi 

dikenal sebafi notasi Leibniez. 

1

)

1

(

)

(

lim

)

1

(

1

'













x

f

x

f

f

x

1

2

1











x

a

b

x

lim

x

1

1

2

1













x

a

)

a

(

x

lim

x

1

1

2

1









x

x

lim

x

1

1

1

1











x

)

x

)(

x

(

lim

x

2

1

1









x

lim

x

1

)

1

(

)

(

lim

)

1

(

1

'













x

f

x

f

f

x

1

lim

1









x

a

ax

x

a

x

x

lim

a

x











1

1

1

2

)

1

(

)

1

(

'

'











a

f

f

Turunan 

 

------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. ------------------------------------------- 

4 

Aturan Pencarian Turunan 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Contoh 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Jika  f(x) = k  maka f’(x) = 0 

2.

 

3.

 

 

Misalkan u=f(x) dan v=g(x), maka 

 

4.

   

5. 

 

6.

 

         7. 

 

   8. 

   

9.

        10. 

      11. 

 

 

Misalkan y=f(u) dan u=g(x), maka 

 

12.

 (aturan rantai) 

Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut! 

1.

 

 

 

2.

  

 

3.

 

 

Turunan 

 

------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. ------------------------------------------- 

5 

Contoh 

 

 

 

Turunan Tingkat Tinggi 

Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1).  

 

 

 

Turunan pertama                                   Turunan kedua 

 

 

Turunan ketiga   

 

          Turunan ke-n 

Contoh 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A. Tentukan turunan kedua dari: 

1.

 

Jawab: 

 

2.

 

Jawab: 

 

B. Carilah c, sehingga f’’(c)=0 dari 

 

Jawab: 

 





)

(

)

(

)

1

(

)

(

x

f

dx

d

x

f

n

n





 

f

x

df x

dx

' ( )



 

2

2

)

(

"

dx

x

f

d

x

f



 

3

3

)

(

'

"

dx

x

f

d

x

f



 

 

n

n

n

dx

x

f

d

x

f



)

(

4.

     

 

Turunan 

 

------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. ------------------------------------------- 

6 

Turunan Implisit 

Jika  hubungan  antara  y  dan  x    dapat  dituliskan  dalam  bentuk  y  =  f(x)  maka  y  disebut  fungsi 

eksplisit  dari  x,    yaitu  antara  peubah  bebas  dan  tak  bebasnya  dituliskan  dalam  ruas  yang 

berbeda. Bila tidak demikian maka dikatakan y  fungsi implisit dari x.  

Contoh 

 

 

 

Untuk menentukan  turunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan anggap y  fungsi 

dari x. 

Contoh 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Latihan 5 

1.  Carilah nilai a dan b agar fungsi berikut diferensiabel di x=1 

 

 

 

2.  Carilah turunan pertama dari fungsi berikut! 

 

 

3.  Carilah turunan kedua dari fungsi berikut! 

 

 

4.  Carilah turunan implisit dari fungsi berikut! 

 

1. 

2. 

10

.

1

2

2

3







y

x

y

x

1

)

sin(

.

2

2

2







y

x

xy

)

10

(

)

(

)

(

)

(

2

2

3

x

x

x

x

D

y

D

x

D

y

x

D







0

'

2

)

'

2

3

(

3

2

2









y

x

y

y

x

y

x

2

2

3

3

2

'

)

1

2

(

y

x

x

y

y

x









1

2

3

2

'

3

2

2









y

x

y

x

x

y

)

10

(

)

(

2

2

3

x

x

D

y

x

y

x

D







)

1

(

)

)

sin(

(

2

2







y

D

x

xy

D

x

x

0

'

2

2

)

'

(

)

cos(









yy

x

xy

y

xy

)

cos(

2

'

)

2

)

cos(

(

xy

y

x

y

y

xy

x









y

xy

x

xy

y

x

y

2

)

cos(

)

cos(

2

'









f x

a x

x

x

bx

x

( )

;

;





 











3 0

1

1

2

2

1

1

.



















x

x

y

a





10

3

2

.





x

y

b

x

y

c

3

sin

.







1

2

sin

.





x

y

a





4

3

2

.





x

y

b

 

x

y

c



2

cos

.



1

)

sin(

.

2

2







y

x

xy

a

0

3

.

2

2

3







y

y

x

x

b