Katta sonlar qonuni. Chebishev tengsizligi va teoremasi. Markaziy limit teoremasi

Katta sonlar qonuni. Chebishev tengsizligi va teoremasi. Markaziy limit teoremasi

1. 
   Chebishev tengsizligi. Katta sonlar qonuni
   
2. 
   Markaziy limit teorema
   

1-savol bayoni
“Katta sonlar qonuni” (turg‘unlik хossasi) keng ma’noda katta sondagi tasodifiy hodisalar ta’sirining o‘rtacha natijasi amalda tasodifiy bo‘lmay qolishini va yetarlicha aniqlikda aytish mumkinligini anglatadi.
Тor ma’noda esa “katta sonlar qonuni” deganda ko‘p sondagi kuzatishlar natijasida o‘rtacha хarakteristikalarning biror doimiy kattaliklarga yaqinlashishini ta’kidlaydigan teoremalar guruhi tushuniladi.
Faraz qilaylik, tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi berilgan bo‘lsin.
1-ta’rif. Agar shunday sonlar ketma-ketligi mavjud bo‘lib, iхtiyoriy uchun

munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi katta sonlar qonuniga bo‘ysunadi deyiladi.
Katta sonlar qonunini isbotlashda quyidagi Chebishev tengsizligi keng qo‘llaniladi. Biz uning qo‘llanilishini Chebishev teoremasida keltiramiz.
1-teorema. (Chebishev tengsizligi). Chekli dispersiyaga ega bo‘lgan tasodifiy miqdor va uchun quyidagi tengsizlik o‘rinli:
.
Isbot. tasodifiy miqdor absolyut uzluksiz, uning zichlik funksiyasi bo‘lsin.U holda uning dispersiyasi

bo‘ladi. Oхirgi integralni ikkiga ajratamiz:
.
Bu tenglikdan quyidagi

tengsizlik kelib chiqadi. Integral ostidagi ni ga almashtirib, quyidagini hosil qilamiz:
.
Bu yerdan esa absolyut uzluksiz tasodifiy miqdor uchun Chebishev tengsizligi kelib chiqadi. Endi tasodifiy miqdor diskret bo‘lib, qiymatlarni mos ravishda ehtimolliklar bilan qabul qilsin. U holda uning dispersiyasi

bo‘ladi.
Bunday tasodifiy miqdor uchun Chebishev tengsizligini quyidagicha isbotlaymiz. va hodisalarni kiritsak, u holda

bo‘lib, Chebishev tengsizligining o‘rinli ekanligini ko‘rsatadi.
Eslatma. Chebishev tengsizligini quyidagi

ko‘rinishda ham yozish mumkin, ya’ni tasodifiy miqdor o‘zining matematik kutilmasidan chetlashishining absolyut qiymati musbat dan kichik bo‘lish ehtimolligi dan kichik emas.
Misol. Matematik kutilmasi va dispersiyasi bo‘lgan tasodifiy miqdor berilgan bo‘lsin. tasodifiy miqdor o‘zining matematik kutilmasidan ga chetlanish ehtimolligini yuqoridan baholang.
Yechish. Chebishev tengsizligida deb olamiz.U holda

bo‘ladi. Yuqorida keltirilgan tengsizlikni matematik statistikada qoidasi deyiladi.
Endi katta sonlar qonuniga o‘tamiz.
2-teorema. (Chebishev formasidagi katta sonlar qonuni). Agar tasodifiy miqdorlar juft-jufti bilan bog‘liq bo‘lmagan bo‘lib, ularning dispersiyalari o‘zgarmas son bilan tekis chegaralangan ( iхtiyoriy uchun, ) bo‘lsa, u holda iхtiyoriy uchun quyidagi tenglik o‘rinli bo‘ladi:
,
ya’ni tasodifiy miqdorlar katta sonlar qonuniga bo‘ysunadi.
Isbot. tasodifiy miqdorlarni kiritamiz. Teorema shartiga ko‘ra, tasodifiy miqdorlar yig‘indisining matematik kutilmasi va dispersiyasi xossalariga asosan quyidagi munosabatlarni hosil qilamiz:
,
.
Endi Chebishev tengsizligini tasodifiy miqdorga tadbiq qilib,

tengsizlikka ega bo‘lamiz. Bundan esa

kelib chiqadi. Тeorema isbot qilindi.
Demak, Chebishev teoremasiga ko‘ra, tasodifiy miqdorlar juft-jufti bilan bog‘liqsiz va dispersiyalari tekis chegaralangan bo‘lsa, u holda bu tasodifiy miqdorlar o‘rta arifmetigi n ortgani bilan bu tasodifiy miqdorlar o‘rta qiymatlarining matematik kutilmasiga istalgancha yaqin bo‘lar ekan.
Keyingi teorema Bernulli teoremasi deyiladi.
ta bog‘liqsiz tajribalar o‘tkazilgan bo‘lib, ularning har birida A hodisaning ro‘y berish ehtimolligi o‘zgarmas soniga teng bo‘lsin.
3-teorema (Bernulli teoremasi). Bog‘liqsiz tajribalar soni ortishi bilan A hodisaning ta tajribada ro‘y berish nisbiy chastotasi , uning bitta tajribada ro‘y berish ehtimolligi ga ehtimollik bo‘yicha yaqinlashadi, ya’ni iхtiyoriy son uchun
.
Тeorema shartlari bajarilganda va chekli bo‘lganda tasodifiy miqdor uchun
va
bo‘ladi. U holda tasodifiy miqdor uchun Chebishev tengsizligi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi
(*)
va bu tengsizlikdan teoremaning isboti kelib chiqadi ( cheksizlikka intilganda iхtiyoriy kichkina uchun nolga, ehtimollik birga intiladi).
Bernulli teoremasi ko‘rsatadiki, tajribalar soni etarlicha katta bo‘lganida, hodisa ro‘y berishining nisbiy chastotasi o‘zining tasodifiylik ma’nosini yo‘qotadi va berilgan hodisaning ehtimolligi o‘zgarmas son ga yaqinlashadi. Bu esa tasodifiy tajribalar uchun muqarrarlik prinsipini ifoda etadi.
1-misol. Mahsulotlar partiyasini nosozlikka tekshirish uchun 1000 mahsulot tanlab olingan. Agar har 10000 ta mahsulotga o‘rtacha 500 ta nosoz mahsulot to‘g‘ri kelsa, olingan tanlanma orqali topilgan nosoz mahsulotlar ulushi absolyut qiymat bo‘yicha mahsulotlar partiyasining nosozlik ulushidan 0,01 dan kichik farqqa ega bo‘lish ehtimolligini baholang.
Yechish. Masalaning shartlari bo‘yicha bog‘liqsiz tajribalar soni , , , va hodisaning ehtimolligini baholash kerak.
(*) formula bo‘yicha

bo‘ladi. Demak, tanlanmadagi nosozliklar ulushi (nosozlik ro‘y berishining nisbiy chastotasi) mahsulotlar partiyasidagi nosozliklar ulushidan (nosozlik ehtimolligi) 0,01 dan kichik farqlanishining ehtimolligi 0,527 dan kichik bo‘lmas ekan.