Kesishishidan

Misol. to’sri chiziqning kanonik tenglamasini tuzaylik.
1) x₁=1 desak y₁=2; z₁=1. A(x₁,y₁,z₁)=A(1,2,1).
2) s= =-10i+17j-k ; Demak , = =


Berilgan ikki nuqtadan o’tgan to’g’ri
chiziq tenglamasi.


Berilgan M₁(x₁,y₁,z₁) va M₂(x₂,y₂,z₂) nuqtalardan o’tgan to’g’ri chiziqning tenglamasini tuzaylik. Buning uchun to’sri chiziqda ixtiyoriy M(x,y,z) nuqta olib, to’sri chiziqning yo’naltiruvchi vektori sifatida = vektorni olaylik. U xolda va = vektorlar kollinear vektorlar bo’lgani uchun = , ya’ni
= (x-x₁)i+(y-y₁)j+(z-z₁)k= [(x₂-x₁)i+(y₂-y₁)j+(z₂-z₁)k]
= = - bu xosil bo’lgan tenglamaga berilgan ikki nuqtadan o’tgan to’sri chiziq tenglamasi deyiladi.
Ikki to’sri chiziq orasidagi burchak va ularning
parallellik, perpendikulyarlik shartlari.


Fazodagi ikkita to’sri chiziq orasidagi burchak deb, bu to’sri chiziqlarning yo’naltiruvchi vektorlari orasidagi burchakka aytiladi.
Agar to’g’ri chiziqlar kanonik tenglamalari bilan berilgan bo’lsa, ya’ni
= = va = = bo’lsa, bu to’g’ri chiziqlarning yo’naltiruvchi vektorlari ₁={l₁,m₁,n₁}, ₂={l₂,m₂,n₂} bo’lishlari ravshan.
Bu vektorlar orasidagi burchak
_{1 2}=| ₁|| ₂|cos
(1)
Agar to’sri chiziqlar parallel bo’lsa, u holda ₁ , ₂ yo’naltiruvchi vektorlar kollinear bo’lib, ularning koordinatalari (proyeksiyalari) proporsional bo’ladi, ya’ni
₁= ₂ , = = (2)
(2) formula fazodagi ikki to’sri chiziqning parallellik shartidir.
Agar to’sri chiziqlar perpendikulyar bo’lsa, bo’lib, cos =cos =0 bo’ladi. U holda (1) dan (3)
fazodagi ikki to’sri chiziqning perpendikulyarlik shartini hosil qilamiz.
Agar = = to’sri chiziq va Ax+By+Cz+D=0 tekislik berilgan bo’lsa, ularning o’zaro parallel bo’lishi uchun to’sri chiziqning ={l,m,n} yo’naltiruvchi vektori va tekislikning normal vektori ={A,B,C}lar o’zaro
perpendikulyar bo’lishi shart, ya’ni
Al+Bm+Cn=0 (4).
Agar to’sri chiziq bilan tekislik perpendikulyar bo’lsa, || bo’ladi.
Bundan
= = (5)
shart kelib chiqadi.


Tekisliklar dastasi.


Berilgan to’sri chiziq orqali o’tuvchi tekisliklar to’plamiga tekisliklar dastasi deyiladi. to’sri chiziq esa dasta o’qi deyiladi.
Dasta o’qi yaqni to’sri chiziqning umumiy tenglamasi berilgan bo’lsin:
(1)
(1)ning ikkinchi tenglamasini o’zgarmas ga ko’paytirib birinchisiga qo’shamiz.
A₁x+B₁y+C₁z+D₁+ (A₂x+B₂y+C₂z+D₂)=0 (2)


tenglama ning xar qanday qiymatida (1) to’sri chiziq orqali o’tuvchi (A₂x+B₂y+C₂z+D₂ tekislikdan tashqari ) xar qanday tekislik tenglamasini ifodalaydi.
Xaqiqatan (2) dastaning ixtiyoriy tekisligi uning dasta o’qida yotmagan M(x₁,y₁,z₁) nuqtasi bilan aniqlanadi. Shuning uchun M nuqtaning koordinatalarini (2) ga q o’ysak,
A₁x+B₁y+C₁z+D₁+ (A₂x+B₂y+C₂z+D₂)=0 =- (3)
(3) ni (2) ga qo’ysak, M₁(x₁,y₁,z₁) nuqta orqali o’tuvchi tekislik tenglamasini hosil qilamiz. ning turli qiymatlarida esa, (1) to’sri chiziq orqali o’tgan har xil tekisliklar tenglamasini xosil qilamiz. Shuning uchun (2) ga tekisliklar dastasining tenglamasi ham deyiladi.