Ketma-ketlik va uning limiti. O'zgaruvchan va o'zgarmas miqdorlar. To'plamlar va ustida amallar. Reja

Teorema 7. Paralelogrammning yuzasi.
Fazoda berilgan  va  vektorlarning vektor ko‘paytmasining moduli  son jixatdan shu  va  vektorlarga qurilgan paralelogrammning yuzasiga teng.


Misol . Uchburchakning yuzasi.
Fazoda berilgan uchta  va  nuqtalardan tuzilgan uchburchakning yuzasini toping.
Yechish.  uchburchak yuzasi  va  vektorlarga qurilgan parallelogramm yuzining yarmisiga teng.









Ta’rif 6. Aralash ko‘paytma.
Bizga fazoda uch o‘lchovli ,  va vektorlarberilganbo‘lsin.
 ko‘paytma uch vektorning aralash ko‘paytmasi deb ataladi. Isbotlash mumkinki aralash ko‘paytma uch vektor komponentalaridan tuzilgan matritsaning determinantiga teng:



Misol.


Vektorlarning aralash ko‘paytmasini toping.


Yechish.
Izox.  aralash ko‘paytmani boshqa  ko‘rinishda olsa xam bo‘ladi, faqat ketma-ketlik o‘zgarmasa bo‘ldi.
Nuqta mahsulotining xususiyatlari
Keling, ikkita vektor bo'lgan vaziyatga qaytaylik hamkorlikda boshqargan. Bunday holda, ular orasidagi burchak nol, , va skalyar hosila formulasi quyidagi shaklni oladi: .
Agar vektor o'ziga ko'paytirilsa nima bo'ladi? Vektorning o'zi bilan birgalikda yo'naltirilganligi aniq, shuning uchun biz yuqoridagi soddalashtirilgan formuladan foydalanamiz:
Raqam chaqiriladi skalyar kvadrat vektor, va sifatida belgilanadi.
Shunday qilib, vektorning skalyar kvadrati berilgan vektor uzunligining kvadratiga teng:
Ushbu tenglikdan vektor uzunligini hisoblash uchun formulani olishingiz mumkin:
Bu noaniq bo'lib tuyulsa-da, lekin darsning vazifalari hamma narsani o'z o'rniga qo'yadi. Muammolarni hal qilish uchun bizga ham kerak nuqta mahsulot xususiyatlari.
Ixtiyoriy vektorlar va har qanday son uchun quyidagi xususiyatlar to'g'ri bo'ladi:
1) - almashtiriladigan yoki kommutativ skalyar mahsulot qonuni.
2)  - tarqatish yoki tarqatuvchi skalyar mahsulot qonuni. Oddiy qilib aytganda, siz qavslarni ochishingiz mumkin.
3)  - kombinatsiya yoki assotsiativ skalyar mahsulot qonuni. Konstantani skalyar mahsulotdan chiqarish mumkin.
Ko'pincha, barcha turdagi xususiyatlar (bu ham isbotlanishi kerak!) talabalar tomonidan qabul qilinadi. axlat, bu faqat eslab qolishi va imtihondan so'ng darhol xavfsiz tarzda unutilishi kerak. Ko'rinishidan, bu erda muhim bo'lgan narsa, hamma birinchi sinfdan boshlab mahsulot omillarning almashinuvidan o'zgarmasligini biladi: Men sizni ogohlantirishim kerak, oliy matematikada bunday yondashuv bilan narsalarni chalkashtirib yuborish oson. Shunday qilib, masalan, kommutativ xususiyat uchun haqiqiy emas algebraik matritsalar. uchun haqiqiy emas vektorlarning oʻzaro koʻpaytmasi. Shuning uchun, nima qilish mumkin va mumkin emasligini tushunish uchun hech bo'lmaganda oliy matematika kursida uchrashadigan har qanday xususiyatlarni o'rganish yaxshiroqdir.
3-misol
.
Yechim: Birinchidan, vektor bilan vaziyatni aniqlab olaylik. Bu nima haqida? va vektorlarining yig'indisi aniq belgilangan vektor bo'lib, u bilan belgilanadi. Vektorlar bilan harakatlarning geometrik talqinini maqolada topish mumkin Dummies uchun vektorlar. Vektorli bir xil maydanoz vektorlarning yig'indisi va .
Demak, shartga ko'ra, skalyar ko'paytmani topish talab qilinadi. Nazariy jihatdan, siz ishchi formulani qo'llashingiz kerak  , lekin muammo shundaki, biz vektorlarning uzunligi va ular orasidagi burchakni bilmaymiz. Ammo vaziyatda shunga o'xshash parametrlar vektorlar uchun berilgan, shuning uchun biz boshqa yo'ldan boramiz:

(1) vektorlarning ifodalarini almashtiramiz.
(2) Biz qavslarni polinomlarni ko'paytirish qoidasiga ko'ra ochamiz, maqolada vulgar tilni burish mumkin. Kompleks sonlar yoki Kasr-ratsional funktsiyani integrallash. Men o'zimni takrorlamayman =) Aytgancha, skalyar mahsulotning distributiv xususiyati qavslarni ochishga imkon beradi. Bizning huquqimiz bor.
(3) Birinchi va oxirgi shartlarda vektorlarning skalyar kvadratlarini ixcham yozamiz:  . Ikkinchi hadda skalyar ko'paytmaning almashinish qobiliyatidan foydalanamiz: .
(4) Mana o'xshash atamalar: .
(5) Birinchi atamada biz yaqinda aytib o'tilgan skalyar kvadrat formulasidan foydalanamiz. Oxirgi muddatda, mos ravishda, xuddi shu narsa ishlaydi: . Ikkinchi muddat standart formulaga muvofiq kengaytiriladi  .
(6) Ushbu shartlarni almashtiring  , va yakuniy hisob-kitoblarni DIQQAT bilan bajaring.
Javob:
Salbiy ma'no nuqta ko'paytma vektorlar orasidagi burchakning to'g'ri bo'lmaganligini bildiradi.
Vazifa odatiy, bu erda mustaqil hal qilish uchun misol:
4-misol
Agar ma'lum bo'lsa, vektorlarning skalyar ko'paytmasini toping  .
Endi yana bir umumiy vazifa, faqat yangi vektor uzunligi formulasi uchun. Bu yerdagi belgilar bir-biriga mos tushadi, shuning uchun aniqlik uchun men uni boshqa harf bilan qayta yozaman:
5-misol
Agar vektor uzunligini toping  .
Yechim quyidagicha bo'ladi:
(1) Biz vektor ifodasini beramiz.
(2) Biz uzunlik formulasidan foydalanamiz: , bizda "ve" vektori sifatida butun son ifodasi mavjud.
(3) Biz yig'indining kvadrati uchun maktab formulasidan foydalanamiz. Bu erda qanday qilib qiziq ishlayotganiga e'tibor bering: - aslida bu farqning kvadrati va aslida shunday. Istaganlar vektorlarni joylarda o'zgartirishlari mumkin: - atamalarni qayta tartibga solishgacha xuddi shunday bo'ldi.
(4) Keyingi ikkita oldingi muammodan allaqachon tanish.
Javob: 
Biz uzunlik haqida gapirayotganimiz sababli, o'lchamni - "birliklar" ni ko'rsatishni unutmang.
6-misol
Agar vektor uzunligini toping  .
Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. To'liq yechim va dars oxirida javob.
Biz skaler mahsulotdan foydali narsalarni siqib chiqarishni davom ettiramiz. Keling, formulamizga yana qaraylik  . Proportsional qoidaga ko'ra, vektorlarning uzunliklarini chap tomonning maxrajiga qaytaramiz:

Keling, qismlarni almashtiramiz:

Ushbu formulaning ma'nosi nima? Agar ikkita vektorning uzunliklari va ularning skalyar ko'paytmasi ma'lum bo'lsa, u holda bu vektorlar orasidagi burchakning kosinusini va demak, burchakning o'zini hisoblash mumkin.
Skayar ko'paytma raqammi? Raqam. Vektor uzunliklari raqamlarmi? Raqamlar. Demak, kasr ham sondir. Va agar burchakning kosinusu ma'lum bo'lsa:  , keyin foydalaning teskari funktsiya burchakning o'zini topish oson:  .
7-misol
va vektorlari orasidagi burchakni toping, agar ma'lum bo'lsa.
Yechim: Biz formuladan foydalanamiz:

Ustida yakuniy bosqich hisob-kitoblarda maxrajdagi mantiqsizlikni bartaraf etish usuli qo'llanildi. Mantiqsizlikni yo'q qilish uchun men son va maxrajni ga ko'paytirdim.

Shunday qilib, agar  , keyin:

Teskari qiymatlar trigonometrik funktsiyalar tomonidan topish mumkin trigonometrik jadval. Garchi bu kamdan-kam hollarda bo'lsa ham. Analitik geometriya muammolarida ba'zi bir bema'ni ayiqlar ko'proq uchraydi va burchak qiymatini taxminan kalkulyator yordamida topish kerak. Aslida, biz bu rasmni qayta-qayta ko'ramiz.
Javob: 
Shunga qaramay, o'lchamni - radian va darajani belgilashni unutmang. Shaxsan, ataylab "barcha savollarni olib tashlash" uchun men ikkalasini ham ko'rsatishni afzal ko'raman (agar, albatta, shart bo'yicha, javobni faqat radyanlarda yoki faqat darajalarda taqdim etish talab etilmasa).
Endi siz ko'proq narsani hal qilishingiz mumkin qiyin vazifa:
7-misol*
Vektorlarning uzunliklari va ular orasidagi burchak berilgan. , vektorlar orasidagi burchakni toping.
Vazifa ko'p tomonlama kabi qiyin emas.
Keling, yechim algoritmini tahlil qilaylik:
1) Shartga ko'ra, vektorlar orasidagi burchakni topish talab qilinadi, shuning uchun formuladan foydalanish kerak.  .
2) Skalar mahsulotini topamiz (3, 4-misollarga qarang).
3) Vektor uzunligi va vektor uzunligini toping (5, 6-misollarga qarang).
4) Yechimning oxiri 7-misolga to'g'ri keladi - biz raqamni bilamiz , ya'ni burchakning o'zini topish oson: 
Tez yechim va dars oxirida javob.
Darsning ikkinchi bo'limi xuddi shu nuqta mahsulotiga bag'ishlangan. Koordinatalar. Bu birinchi qismga qaraganda osonroq bo'ladi.