Keyin (1) tengliklarning ikki bo’limida kvadratga ko’taramiz va qo’shamiz

Bo’lashi mumkin bo’lgan payqash uchum qiyin emas. Vektorlarning boshidan va uchidan koordinatalarning berilishi bilan vector to’liq aniqlanadi. So’ngra,

Sonlari, ya’ni vektorning koordinata o’qlaridagi proyeksiyalari berilsa, unda biz vector to’liq ( bir qiymatli) aniqlanadi debb ayta olamiz. Shunga bog’lanishli X, Y, Z sonlarining vektorning koordinatalari deb atash qabul etilgan. Bu quyidagicha anglatiladi: .
Vektorning koordinata o’qlari bilan yasagan burchaklarini mos turda orqali belgilasak, biz buni yozsak bo’ladi:


(1)
Keyin (1) tengliklarning ikki bo’limida kvadratga ko’taramiz va qo’shamiz:

Agar ekanligini hisobga olsak, unda u bo’ladi. Demak,
(2)
Bundan X, Y va Z ning koordinatalariga o’tsak, ya’ni

ekanligini hisobga olsak, (2) formula quyidagi ko’rinishni qabul etsak:
(3)
Agar deb belgilasak, unda
(4)
Bo’ladi. Shunday qilib, biz dastlabki chiqarilgan formulaning paydo qildik.
Demak, biz (1) va (2) formulalardan vektorning koordinata o’qlari bilan yasagan burchaklarini aniqlash uchun kerak bo’lgan quyidagi formulalardi paydo qilamiz:



I bo’limda biz komplanar bo’lgan vektorlarni qo’shish masalasini qaragan edik. Endi komplanar emas vektorlardi qo’shish masalasini ko’raylik.
Mayli, bizga komplanar bo’lmagan uch: a, b, c vektorlari berilgan bo’lsin. Oson bo’lishi uchun u vektorlar umumiy boshlang’ich nuqtaga keltirilgan deylik. Shunda


Ya’ni
Chizmadan vektori berilgan a, b, c vektorlarining ustiga yasalgan parallellipedning diagonali bo’lishini ko’ramiz. Shundan, komplanar bo’lmagani uch vektorni qo’shishning bu qoidasi deb ham ataladi.
Endi o’zlarining koordinatalari bilan berilgan tekislikdagi ikki vektorni, qo’shish, ayirish va songa ko’paytish masalasiga to’xtaylik. Mayli,
va
Bo’lsin. Shunda


Endi berilgan vector, berilgan son bo’lsin. Shunda 1 bo’limda aytilganday

Bo’ladi, ya’ni vektorni ba’zi bir songa ko’paytganda uning mos koordinatalarida shu songa ko’payadi. Agarda ikki: va vektorlarining bittasi ikkinchisini ba’zi bir soniga ko’patishdan kelib chiqadigan bo’lsa, ya’ni bo’lsa, unda ikki vector o’zaro kollinear bo’ladi. To’g’risida, tengligi bilan yozish mumkin:

Demak,

Bundan

Bu ikki vektorning kollinearlik sharti bo’lib topiladi.