Кimyo-texnologiya instituti

                                                                     

tenglama hosil bo‘ladi. e

λx 

 

≠  0 (har doim musbat) ekanligini hisobga 

olsak, oxirgi tenglamaga teng kuchli 

 

 

 

 

 

 

(

λ

2

 + P · 

λ + q) = 0   

 

 

(3) 

tenglamani olamiz. 

(3) algebraik tenglamaga (2) differensial tenglamaning 

xarakteristik tenglamasi deyiladi. 

(2) tenglamaning fundamental yechimlari sistemasini qurishning 

navbatdagi qadami quyidagicha: (3) kvadrat tenglama ikki 

λ

1

  va 

λ

2

 

haqiqiy yoki kompleks ildizlarga ega boisin. Unda y

1

  = e

λ1x

, y

2

  = e

λ2x

 

funksiyalarning har biri (2) tenglamaning yechimi bo‘ladi. Agar ushbu 

funksiyalar chiziqli erkli bo‘lsa, tenglama umumiy yechimi c

 1

 e

λ1x

  + c

2

 

e

λ2x

 ko‘rinishda yoziladi. 

Agar fiinksiyalar chiziqli bog‘liq bo‘lsa, umumiy yechimni qurish 

jarayoni qo‘shimcha mulohazalarni talab etadi. 

Umumiy yechimni tuzishning xarakteristik tenglama yechimlari 

bilan bog‘liq barcha hollarini qaraymiz: 

1- hol: 

λ

1

 va 

λ

2

 ildizlar haqiqiy va turlicha. Ularga mos y

1

 = e

λ1x

 va 

y

2

 = e

λ2x

 yechimlar chiziqli erkli, chunki 

 

x

x

x

x

e

e

e

e

y

y

W

2

1

2

1

2

1

2

1

)

;

(

λ

λ

λ

λ

λ

λ

⋅

⋅

=

 

 

Demak, y

1 

va y

2

 fundamental yechimlar sistemasini tashkil etadi. 

 

Misol. y" - 8y

′ + 7y = 0 tenglama umumiy yechimini quring. 

Xarakteristik tenglama 

λ

2 

-  8

λ  + 7 ko‘rinishga ega va uning 

ildizlari 

λ

 1 

= 1, 

λ

2 

= 7. Natijada, chiziqli erkli y

1

 = e

x

 va y

2

 = e

7x

 xususiy 

yechimlami olamiz. Tenglama umumiy yechimi 

y = c

1 

- e

x 

+ c

2

·e

7

. 

2-hol: 

λ

1

 va 

λ

2

 ildizlar o‘zaro qo‘shma 

λ

1

 = 

α + βi va λ

2

 = 

α - βi 

kompleks sonlar, bu yerda – 

β ≠ 0. 

Ildizlarga mos kompleks yechimlami Z

 1 

va Z

 2

 deb belgilaymiz: 

Z

1 

=

 

e

(

α + βi)

,  

Z

2 

=

 

e

(

α - βi)

 

λ

1 

≠ λ

2

 bo‘lganidan, ular chiziqli erkli.  

Eyler formulasidan foydalanib, 

Z

1

  = e

αx

·(cos

βx + i·sinβx), Z

2

  = e

αx

·(cos

βx  -  i·sinβx), 

funksiyalarni olamiz. Funksiyalarining quyidagi chiziqli 

kombinatsiyalarini tuzamiz: 

y

1

 = 1/2 (Z

1 

+ Z

2

) = e

αx

 ·cos

βx, y

2

 = l/(2·i)(y

1 

- y

2

) = e

αx

·sin

βx. 

                                                                     

y

1

  va y

2

  funksiyalar (2) tenglamaning haqiqiy yechimlari bo‘lib, 

chiziqli erklidir. Natijada, umumiy yechim 

у = c

1

· e

αx

 ·cos

βx + c

2

·e

αx

·sin

βx  = e

αx

·( c

1

·cos

βx + c

2

·sin

βx) 

ko‘rinishda yoziladi. 

Misol. y"- 6y

′ + 10y = 0 tenglama umumiy yechimini toping. 

Xarakteristik tenglama 

λ

2 

- 6

λ + 10 = 0 

bo‘lib, uning ildizlari 

λ

1

=  3+i, 

λ

2

  = 3-i. Shunday qilib, xususiy 

yechjimlar 

y

1

 = e

3x

 ·cosx,  

y

2

 = e

3x

 ·sinx.  

 

Umumiy yechim: 

у = e

3x

 ·(c

1 

– cosx + c

2

·sinx). 

 

3-hol: 

λ

1

  va 

λ

2

  ildizlar o‘zaro teng va haqiqiy. 

λ

1 

= 

λ

2

  ildizlarga 

xususiy  e

λ1x

  va x·e

λ1x

  chiziqli erkli (tekshirib ko‘ring) yechimlami mos 

qo‘yish mumkin. Shunday qilib, umumiy yechim 

 

у = c

1

·e

λ1x 

 + c

2

·x·e

λ1x

 = e

λ1x 

·(c

1 

+ c

2

·x). 

 

Misol. y" + 4y’ + 4y = 0 tenglama umumiy yechimini toping.  

Xarakteristik tenglama 

λ

2 

+ 4

λ + 4 = 0 va λ

1

 = 

λ

2

 = - 2.  

Umumiy yechim 

у = е

-

2х

 

·(с

1 

+ 

с

2

·х). 

 

2  -  Teorema.  Bir  jinslimas  (1)  differensial  tenglamaning  umumiy 

yechimi ushbu tenglama biror y

0

(x) xususiy yechimi va mos bir jinsli (2) 

tenglama umumiy yechimlari yig‘indisiga teng.  

(1)  tenglama  biror-bir  xususiy  yechimini  ixtiyoriy  o‘zgarmasni 

variantsiyalash usulida qurish mumkin. 

Agar  (1)  tenglamaning  o‘ng  tomoni  f(x) = P(x)·e

αx

  ko‘rinishda 

bo‘lsa,  bu  yerda,  P(x)  -  ko‘phad,  u  holda  tenglamaning  xususiy  yechi-

mini qu-rishning oddiy usuli mavjud. 

I  hol:  Agar 

α xarakteristik tenglamaning ildizlaridan biri bo‘lmasa, 

xususiy  yechim 

у  =  Q(x)·e

αx

  ko‘rinishda  qidiriladi.  Bu  yerda:  Q(x)  - 

darajasi  P(x)  ning  darajasiga  teng  aniqmas  koeffitsiyentli  ko‘phad. 

у = 

Q(x)·e

αx

  ifoda  (1)  tenglamaga  qo‘yiladi,  e

αx

  ga  qisqartirilgandan  so‘ng, 

ko‘phadlar  tengligidan,  Q(x)  ko‘phadning  aniqmas  koeffitsiyentlari 

aniqlanadi. 

Misol. y" -  6y

′  + 8y = (3x - l)·e

x

  tenglamaning xususiy yechimini 

toping.  

                                                                     

Ushbu holda a = 1, xarakteristik tenglama ildizlari esa 2 va 4 ga 

teng. Masala yechimini 

у = (ax + b)·e

x

 ko‘rinishda qidiramiz. Funksiya 

hosilalarini aniqlaymiz: 

y

′ = a·e

x

 + (ax + b)·e

x

 = (ax + a + b)·e

x  

y" = a·e

x

 + (ax + a + b)·e

x

 = (ax + 2a + b)·e

x 

у,  у′,  у" ifodalarni tenglamaga qo‘yiladi va e

x

  ga qisqartirilgandan 

so‘ng: 

(ax + 2a + b) - 6 (ax + a + b) + 8 (ax + b) = x - 1  yoki 

3ax - 4a + 3b = 3x - l. 

Mos koeffitsiyentlarni tenglab, a = 1, b = -1 natijani olamiz. Izlana-

yotgan xususiy yechim: 

y = (

х - 1)·е

х

; 

II  hol:  Agar  α  xarakteristik tenglamalardan biriga teng bo‘lib, 

ikkinchisidan, farq qilsa, xususiy yechim 

у  = x·Q(x)·e

αx

  ko‘rinishida 

izlanadi. 

III hol: Agarda a xarakteristik tenglama ikki karrali ildizlariga teng 

bo‘lsa, u holda xususiy yechim 

у = x

2

·Q(x)·e

αx 

ko‘rinishida qidiriladi. 

 

2. Differensial tenglamalar sistemalari haqida umumiy ma’lumotlar 

 

Agar bir noma’lum funksiyani emas, balki bir yo‘la bir nechta 

noma’lum funksiyani topish masalasi qo‘yilgan bo‘lsa, umuman 

olganda, masala chekli shartlari -  tenglamalari ham bir nechta bo‘lishi 

zarur bo‘ladi. Agarda masala tenglamalari differensial tenglamalardan 

iborat bo‘lsa, u holda differensial tenglamalar sistemasi haqida gapirish 

mumkin. 

Sistema har bir tenglamasida hosila tartibi 1 dan oshmasa, sistema 

bi-rinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasi deb yuritiladi. Ikki 

noma’lum funksiyali ikki birinchi tartibli differensial tenglamalar 

sistemasi, odatda,  

 

               

φ(х, у

1,

 y

2

, dy

1

/dx; dy

2

/dx) = 0 

               

φ(x, у

1

, у

2

, dy

1

/dx; dy

2

/dx) = 0 

 

 

 

 

(4) 

 

ko‘rinishda yoziladi. 

Bir  tenglama  uchun  Koshi  masalasining  qo‘yilishi  tabiiy  ravishda 

differensial tenglamalar sistemasi uchun umumlashtiriladi. Masalan, (4) 

sistema  uchun  Koshi  masalasi  boshlang‘ich  y

1

(x

0

) = y

1

0

,  y

2

(x

0

) = y

2

0

 

shartlarni qanoatlantiravchi y

1

(x), y

2

(x) yechimlarni topishni anglatadi. 

                                                                     

Har  qanday  yuqori  tartibli  differensial  tenglamani  yoki  tenglamalar 

sistemasini birinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasiga keltirish 

mumkin.  

Masalan, y" = f(x, 

у, у′) tenglamani  

 

y

′ = u  

u

′ = f(x, y, u)  

sistema bilan almashtirish mumkin. 

 

3. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar sistemalari.  

Yuqori tartibli yagona differensial tenglamaga keltirish 

 

Differensial tenglamalar sistemasining maxsus ko‘rinishi, chiziqli 

sistemalarni qarash bilan cheklanamiz. 

Ikki noma’lum y

1

(x), y

2

(x) funksiyalar holi uchun chiziqli sistema 

 

         dy

1

/dx = a

11

·y

1

 + a

12

·y

2

 

         dy

2

/dx = a

21

·y

1

 + a

22

·y

2 

 

 

                       

 

(5) 

 

ko‘rinishga ega bo‘lib, umuman olganda, 

α

ij

 koeffitsiyentlar erkli 

o‘zgaruvchi x ning uzluksiz funksiyalaridir. 

(5) sistemani integrallash usullaridan biri, bir noma’lumli ikkinchi 

darajali differensial tenglamaga keltirishdir. (5) sistemaning birinchi 

tenglamasi ikkala qismini x bo‘yicha differensiallaymiz, 

 

2

12

1

11

2

12

1

11

2

1

2

y

dx

d

α

y

dx

d

α

dx

dy

α

dx

dy

α

dx

y

d

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

=

 

tenglamada dy

1

/dx, dy

2

/dx hosilalar sistemadagi ifodasi bilan 

almashtirilganda,  

2

12

1

11

2

22

1

21

21

2

12

1

11

11

2

1

2

y

dx

d

α

y

dx

d

α

)

y

α

y

(

α

α

)

y

α

y

(

α

α

dx

y

d

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

=

 

tenglama o‘ng qismida y

1

 va y

2

 qatnashgan hadlar guruhlanganda  

 

                       

2

1

1

2

1

2

y

y

dx

y

d

⋅

+

⋅

=

β

β

   

 

 

 

(6) 

 

ko‘rinishni oladi, bu yerda 

β

1

  va 

β

2

  koeffitsiyentlar 

α

ij

  koeffitsiyentlar 

va ularning hosilaiari orqali aniq va ravshan ifodalanadi. 

(6) tenglamani (5) sistemaning birinchi tenglamasi bilan birgalikda 

qarab, 

                      













⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

=

2

2

1

1

2

1

2

2

12

1

11

1

y

y

dx

y

d

y

y

dx

dy

β

β

α

α

 

 

 

         (7) 

                                                                     

sistemani olamiz. 

Erkli o‘zgaruvchi x ning qaralayolgan sohasida 

0

2

1

12

11

≠

β

β

α

α

 muno-

sabat o‘rinli bo‘lsa, (7) sistemani 

у

1

 va y

2

 ga nisbatan yechish, ya’ni  

dx

dy

1

 va 

2

1

2

dx

y

d

 lar orqali ifodalash mumkin. Natijada, 

 

                         

2

1

2

1

1

dx

y

d

b

dx

dy

a

y

⋅

+

⋅

=

 

 

 

 

            (8) 

 

 

                          

2

1

2

1

2

dx

y

d

d

dx

dy

c

y

⋅

+

⋅

=

 

 

             

    (9) 

tenglamalarga ega bo‘lamiz. (8) tenglama yagona y

1

(x) noma’lum funk-

siyali, ikkinchi tartibli chiziqli tenglamadir. Agar dastlabki (5) sistemada 

α

ij

 koeffitsiyentlar o‘zgarmas bo‘lsa, (8) tenglama ham o‘zgarmas koef-

fitsiyentli bo‘lib, ushbu tenglamani yuqorida ko‘rilgan qulay usulda 

yechish mumkin. 

Misol. Sistemani yeching. 

                                            













+

−

=

−

−

=

2

1

2

2

1

1

3

2

2

y

y

dx

dy

y

y

dx

dy

 

Birinchi tenglamani ikkala qismini differensiallaymiz, natijada  

 

.

4

3

)

3

2

(

2

)

2

(

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

y

y

y

y

y

y

dx

dy

dx

dy

dx

y

d

−

−

=

+

⋅

−

−

−

−

=

⋅

−

−

=

 

 

sistemaning birinchi tenglamasi bilan birgalikda 

                                             













−

−

=

−

−

=

2

1

2

1

2

2

1

1

4

3

2

y

y

dx

y

d

y

y

dx

dy

 

ko‘rinishni oladi. 

Oxirgi sistemani y

1

 va y

2

 larga nisbatan yechamiz: 

 

                                            













⋅

+

⋅

−

=

−

=

2

1

2

1

2

2

1

2

1

1

2

1

2

3

2

dx

y

d

dx

dy

y

dx

y

d

dx

dy

y

 

 

Natijada, noma’lum y

1

(x) funksiyaga nisbatan  

 

                                                                     

0

2

1

1

2

1

2

=

+

⋅

−

y

dx

dy

dx

y

d

 

 

tenglama hosil boladi. Ushbu tenglamani ma’lum usulda yechamiz va  

y

1

=(c

1

+c

2

-x)·e

x 

funksiyani olamiz. Oxirgi sistema ikkinchi tenglamasi yordamida 

y

2

=-1/2·(2c

1

+c

2

+2c

2

x)·e

x

 

yechim ham kelib chiqadi. 

Quyidagi almashtirishlarni kiritamiz: 

                         

1

1

y

dx

dy



=

, 

2

2

y

dx

dy



=

, 













=

22

21

12

11

α

α

α

α

A













=

2

1

y

y

y

, 













=

2

1

y

y

Y







 

 

Yuqoridagi almashtirishlar yordamida, (5) sistemani ixcham 

A·Y

 

 

Y

=



                      

 

(10) 

 

matritsali tenglama ko‘rinishida yozish mumkin.) 

Masalan, quyidagi 







−

=

−

=

2

1

2

2

1

1

3

2

4

y

y

y

y

y





 

sistemaning matritsa ko‘rinishi 













⋅













−

−

=













2

1

2

1

3

2

1

4

y

y

y

y





 

 

4. O‘zgarmas koeffitsiyentli differensial tenglamalarning chiziqli 

 sistemasi va uning umumiy yechimini toping 

 

(5)  sistemaning  α

ij

  koeffitsiyentlari  o‘zgarmas bolsa, sistemani 

yechishda chiziqli algebra usullarini qo‘llash imkoni mavjud. 

Dastlab boshida (5) sistema Trivial (nol) y

1

(x) = 0, y

2

(x)  =  0 

yechimlarga ham ega ekanligmi tekshirib ko‘rish qiyin emas. 

Sistemamng notrivial (nolmas) yechimlarini  y

1

  = P

1

·e

λx

, y

2

  = P

2

·e

λx  

yoki matrisa 

у = Р·e

λx

, bu yerda, 













=

2

1

P

P

P

   ko‘rinishida qidiramiz. 

Y = λP·e

λx

 bo‘lganidan, Y va Y larni (10) tenglamaga qo‘yib, e

λx

 ga 

qisqartirilgandan so‘

ng, λ, P juftliklarni topish uchun matritsali 

 

A·P = 

λ ·P   

 

 

 

(11) 

 

tenglamani olamiz. (11) tenglamani yechish A matritsaning xos P 

vektorlari va X qiymatlarini topish masalasidir. A matritsaning xos 

qiymatlari