Kirish. Asosiy qism. Sanoqsiz to ‘plamlar

1-chizma

Endi К to‘plamga tegishli soniarning uchlik sistemadagi yoyilmasi haqida fikr yur tamiz. Ravshanki intervaldagi sonlarning uchlik sistemadagi yoyilmasida son albatta 1 ga teng bo'ladi. intervallarga tegishli sonlarning uchlik sistemadagi yoyilmasida

son albatta 1 ga teng bo ‘ladi. Xuddi shunga о‘ xshash

intervallarga tegishli sonlar uchun ularning uchlik sistemadagi yoyilmalarida son albatta1 ga teng bo‘ladi va hokazo. Shunday qilib, ixtiyoriy son uchun uning uchlik sistemadagi yoyilmasida qatnashuvchi Sonlarning kamida bittasi 1 ga teng. Aytilgan mulohazalardan quyidagi xulosa kelib chiqadi: К to'plamga kamida bir usul bilan uchlik kasr ko'rinishida tasvirlanuvchi shunday x € [0, 1] sonlar kiradiki.

ularga mos ketma-ketlikda 1 raqami biror marta ham uchra maydi. Shunday qilib, bar bir x € К uchun ketma-ketlikni mos qo'yish mumkin, bu yerda raqam 0 yoki 2 ni qabul qiladi. Bunday ketma-ketliklar to'plami kontinuum quwatli to ‘planmi tashkil qiladi. Bunga ishonch hosil qilish uchun har bir ketma-ketlika ketma-ketlikni shunday mos qo'yamizki, agar

bo ‘lsa bo ‘ladi,agar bo ‘lsa bo ‘ladi Har bir ketma-ketlikni kesmadagi biror x sonning ikkilik kasr yozuvi deb qarash mumkin. Shunday qilib, К to‘plamni [0, 1] ga biyektiv akslantirishni olamiz. Bu yerdan К ning kontinuum quwatli to'plam ekanligi kelib chiqadi.

ketma-ketlikdagi sonlar to'plami sanoqli bo‘lgani uchun. ular К ni to ‘la qoplamaydi.

Biz ko'rsatdikki. К kontinuum quvvatga ega, ya’ni [0, 1] kesma bilan К to'plam o‘rtasida biyektiv moslik mavjud. Bundan tashqari Kantorning mukammal to’plami bir qator ajoyib xossalarga ega. Masalan:

1. 
   Kantor to‘plamining o'lchovi nolga teng
   
2. 
   Kantor to‘plamining yakkalangan nuqtalari mavjud emas.
   
3. 
   Kantor to‘plamining ichki nuqtalari mavjud emas.
   
4. 
   Kantor to'plami [0. 1] kesmaning hech yerida zich emas.
   

Kantor-Bernshteyn teoremasi.

Teorema.( Kantor-Bernshteyn) Ixtiyoriy va cheksiz to'plamlar berilgan bo‘lsin. Agar to 'plamni to ‘plarnning qism to‘plamiga biyektiv akslantiruvchi akslantirish va to'plamni to'plarnning qism to ‘plamiga biyektiv akslantimochi akslantirish mavjud bo‘lsa, u holda va to'plamlar ekvivalentdir.

Isbot. Umumiylikni chegaralamasdan, va to'plamlar kesishmaydi deb faraz qilishimiz mumkin. Ixtiyoriy elementni olamiz va

ketma-ketlikni quyidagicha aniqlaymiz. Agar to ‘plamda

shartni qanoatlantiruvchi element mavjud bo'lsa, uni deb beldilaymiz.Agar to ‘plamda tenglikni qanoatlantiruvchi element mavjud bo ‘lsa uni deb beldilaymiz.Aytaylik elementaniqlangan bo ‘lsin .Agar juft bo ‘lsa , u holda orqali

dagi shunday elementni tanlaymizki (agar bunday element mavjud bo'lsa), shart bajarilsin ,agar toq bo ‘lsa ,dagi shunday elementki(agar mavjud bo ‘lsa) shart bajarilsin.Bu yerda ikki holat ro ‘y berishi mumkin.

1. 
   Biror da ko’rsatilgan shartlarni qanoatlantiruvchi element mav­jud bo'lmaydi. Bu holda nomer elementning tartib soni deyiladi.
   
2. 
   Cheksiz ketma-ketlikka ega bo'lamiz. Bu holda x elementning
   

tartibi cheksiz deyiladi.

Endi A to'plamni uchta to'plamga ajratamiz. Juft tartibli elementlardan tashkil bo'lgan qism to'plamni orqali, toq tartibli elementlardan tashkil bo'lgan qism to'plamni orqali va cheksiz tartibli elementlardan tashkil bo'lgan qism to'plamni orqali

belgilaymiz. B to'plamni ham xuddi shun day

qismlarga ajratamiz. Tushunish qiyin emaski, f akslan­tirish ni ga va ni ga akslantiradi, akslantirish esa ni ga akslantiradi. Shunday qilib , da f ga teng va da ga teng akslantirish A to ‘plamni B to ‘plamga biyektiv akslantiradi.

To‘plam quvvati tushunchasi. Agar ikkita chekli to‘plam ekviva­lent bo‘lsa, ularning elementlari soni teng bo'ladi; Agar A va B to'plamlar ekvivalent bo‘lsa, u holda ular bir xil quvvatga ega deyiladi. Shunday qilib, quvvat ixtiyoriy ikki ekvivalent to'plamlar uchun unmmiylik xususiyatidir.

Chekli to'plamlar uchun quvvat tushunchasi odatdagi to'plam elementlari soni tushunchasi bilan ustma-ust tushadi. Natural sonlar to'plami va unga ekviva­lent to'plam quvvati uchun (alef nol deb o ‘qiladi)belgi ishlatiladi. [0, 1] keamadagi barcha haqiqiy sonlar to'plamiga ekvivalent to'plamlar haqida, ular kontinuum quvvat ga ega deb gapiradilar. Bu quvvat uchun c yoki N simvol ishlatiladi. va c orasida quvvat mavjudmi degan savol juda chuqur muammo hisoblanadi. Analizda uchraydigan cheksiz to'plamlarning deyarli barchasi yoki >Yoki c quvvatga ega.

Xulosa

Ushbu kurs ishida Sanoqsiz to ‘plamlar,Haqiqiy sonlar

to ‘plamining sanoqsizligi,Kantor-Bernshteyn teoremasi nima uchun kerakli ekani haqida ma’lumotga ega bo ‘ldim.

Ta’rif. segmentdagi nuqtalar to ‘plamiga ekvivalent bo ‘lga

to ‘plamlarni kontinuum quvvatli to ‘plamlar deyiladi.

Tabiiyki albatta kontinuum quvvatga ega bo ‘lgan harqanday to ‘plam sanoqsiz to ‘plamdir .

Endi konyinuum quvvatli to ‘plamlar haqida bir nevhta teoremalar

ko ‘rib chiqamiz.

Teorema2. Har qanday segmentdagi nuqtalar to ‘plami kontinuum quvvatli to ‘plamdir.

Teorema1: segmentning nuqtalaridan iborat to ‘plam sanoqsizdir.

Natija . Har qanday yoki yarim oraliqlar va oraliqdagi nuqtalar to ‘plami continuum quvvatga ega .

Kantor-Bernshteyn teoremasi va uning tadbiqlari haqida

ma ‘lumotga ega bo ‘ldim va va ularni hisoblashga doir misol yechdim.

Foydalanilgan adabiyotlar

1. 
   J.I.Abdullayev,R.N.G‘anixo‘jayev,M.N.Shermatov,O.I.Egamberdiyev” Funksional analiz va integral tenglamalar” Toshkent Yangi asr avlodi 2013-yil.
   
2. 
   Sarimsoqov T.A Funksional analiz kursi .Toshkent O‘qituvchi 1986-yil.
   
3. 
   SH.A Ayupov,M.A.Berduqulov,,R.M.Turg ‘unboyev.Funksiyalar nazariyasi.Toshkent.2008.