Колебании вязкоупругой пластинки, несущей сосредоточенные массы

УДК 539.3
КОЛЕБАНИИ ВЯЗКОУПРУГОЙ
ПЛАСТИНКИ, НЕСУЩЕЙ СОСРЕДОТОЧЕННЫЕ МАССЫ
Сафаров И.И., Тешаев М.Х., Намозов Ж., Ўролов Ў.А.
Исследованию собственных колебаний круглых пластин с сосредоточенными массами посвящено огромное количество работ [1, 2], в которых рассматриваются колебания, в основном, упругой пластинки с прямоугольным поперечным сечением. В настоящей работе рассматривается влияние сосредоточенных масс, расположенных в произвольных точках пластины, на частоты и формы колебаний вязкоупругой пластинки секторного вида. Выводится частотное уравнение с комплексно выходящим параметром. Приводится постановка задачи и методика решения поставленной задачи.
Рассмотрим колебания вязкоупругой пластины секторной формы, заделанной по дуге окружности и свободно опертой на прямолинейных участках контура. Угол при вершине обозначим через (рис. 1).

Рис. 1.Расчетная схема.
Уравнение собственных колебаний, записанное в полярных координатах, принимает следующий вид [1]
. (1)
Здесь, - изгибная жесткость; - масса пластинки, отнесенная к единице площади; - оператор Лапласа в полярных координатах. Дале применяется метод замораживания, тогда уравнение (1) принимает следующий вид
, (2)
где - ядро релаксации материала, мгновенные модули упругости,
-соответственно косинус и синус изображения Фурье ядер релаксаций; -действительная величина. В расчетах использовалось трехпараметрическое ядро релаксации Колтунова-Ржаницына: .
Граничные условия для имеют вид:
при при и (3)
Собственные функции задачи Штурма - Лиувилля [1, 2] в комплексной области имеют вид
(4)
Здесь - комплексная частота колебаний. Комплексная частота определяется из следующего трансцендентного уравнения
(5)
Система функций (4) является ортогональной с весом в плоской области, занятой сектором. Норма собственных форм имеет следующий вид

Предположим, что сосредоточенная масса М расположена в точке с координатами Воздействие массы М на пластину заменим силой направленной перпендикулярно к срединной поверхности. При этом такая же по величине, но противоположная по направлению сила будет приложена к массе M.
Таким образом, поставлена задачи колебаний вязкоупругой пластинки, несущей сосредоточенные массы. Далее будут рассматриваться методика решения данной задачи.


Библиографический список
1. I.I.Safarov, M.Kh.Teshayev, M.Madjidov. Natural Oscillations of Viscoelastic Lamellar Mechanical Systems with Point Communications. Applied Mathematics, 2014, Vol.5, pp.3018-3025.
2. I.I. Safarov, M.Kh.Teshaev, B.Z.Nuriddinov,О.Sh. Qilichov. Mathematical Modeling of Static Stress-Strain State of Parallel Tubes Located In an Elastic Environment. Case Studies Journal.2015. Vol. 4, Iss. 3 , pp.40-51.


Сведения об авторах

1. 
   Сафаров Исмоил Иброхимович, д.ф.-м.н., профессор, Ташкентский химико-технологический институт, Ташкент, Узбекистан, [e-mail]
   
2. 
   Тешаев Мухсин Худойбердиевич, д.ф.-м.н.,доцент, Институт Математики им.В.И.Романовского АН РУз, [e-mail]
   
3. 
   Намозов Жасур Шоқулович, докторант, Ташкентский химико-технологический институт, [e-mail]
   
4. 
   Ўралов Ў.А. Стажёр-исследователь, Ташкентский химико-технологический институт, [e-mail]