Kompyuterning qoʻllanilish

y


x_i
f ^(x, y^(x))dx 
^xi1



x_i
f ^(x, y^(x))dx 
^xi1



x_i
f ^(x, y^(x)) dx 
^xi1
_ M
x_i
3dx  M₃
^xi1

• 
  x_i   M₃h
  

y

y
munosabatlar zanjiridan va eksponentaning monoton oʻsuvchi funksiya ekanligidan kelib chiqadi:
Shunday qilib, (40) va (49) baholashlarni ketma-ket qoʻllash bilan Eyler oshkor usulining yaqinlashuvchanligini oʻrnatish mumkin.
1-teorema. Quyidagi tengsizlik oʻrinli:

_i  C(M₁, M ₂ , M₃ )  h,
i  0,1,..., N,
(50)

bu yerda C – oʻzgarmas boʻlib, (29)-(31) shartlardagi M₁, M₂, M₃
oʻzgarmaslar va L – integrallash kesmasining uzunligi orqali topiladi.
Isbot. x₀ tugundagi toʻr yechimning xatoligi uchun quydagi tenglik oʻrinli:
₀  0 _.
x₁ tugunda jamlangan xatolik boʻlmaydi, shuning uchun (40) ga koʻra quyidagini yoza olamiz:

1

1
_{  } (2)
^{ Mh2} .

x₂ tugundagi xatolik uchun (40) va (49) larni e’tiborga olib quyidagiga ega boʻlamiz:

_{  } (1) _{ } (2)
_{ } (1)
_{ } (2)
 exp(M
h)  

• 
  Mh² 
  

2 2 2 2 2 3 1

3 3
exp(M h)  Mh²  Mh²  (exp(M h) 1)  Mh² .
Xuddi shunday, x₃ tugun uchun quyidagi tengsizlikka ega boʻlamiz:

_{  } (1) _{ } (2)
_{ } (1)
_{ } (2)
 exp(M
h)  

• 
  Mh² 
  

3 3 3 3 3 3 2
exp(M₃h)  (exp(M₃h)  1)  Mh²  Mh²  (exp(2  M₃h)  exp(M₃h) 1)  Mh² .
Endi oydinki, munosabatlani xuddi shunday davom ettirib, quyidagi tengsizlikka kelamiz:

3 3 3 3

i
  exp((i 1)M h)  exp((i  2)M h)  ...  exp(2  M h)  exp(M h) 1 Mh²
Hosil qilingan bu tengsizlikning oʻng tarafidagi qavs ichida chekli ge-
ometrik progressiyaning hadlari yigʻindisi yozilgan boʻlib, uning maxraji q
= exp(M₃h) ga teng. Bu yigʻindi uchun quyidagi ifodadan foydalanamiz:

1  qⁱ
1  exp(i  M h) exp(i  M h)  1

_ 3 _ 3 _.

1  q
1  exp(M ₃h) exp(M ₃h) 1

Bu yerdan esa quydagi tengsizlikni hosil qilamiz:
_{ } exp(i  M ₃h)  1 _{Mh2 .}

ⁱ exp(M h)  1
3
(51)

Shuni taʼkidlaymizki, progressiya hadlarining yigʻindisi formulasida surat va maxrajning musbatligini taʼminlash uchun qoʻshiluvchilarning oʻrnini ham suratda va ham maxrajda almashtirdik.
(51) shartni kuchaytiramiz, buning uchun undagi kasrning suratini un- dan katta boʻlgan songa, maxrajini esa undan kichik boʻlgan songa al- mashtiramiz. Buning uchun suratdagi i indeksni uning maksimal qiymati N bilan almashtiramiz hamda (3) dan kelib chiquvchi Nh = L tenglikdan foy- dalanib, surat uchun exp(M₃h) – 1 dan kattaroq boʻlgan songa ega boʻlamiz. Maxrajdagi exp(M₃h) miqdorni esa eksponenta uchun qatorga yoyib, ulardagi 1 birlikni qisqartirib, natijada quyidagi munosabatga ke- lamiz:

M
1
1! ³
h  ¹ (M 2!
h)² 
¹ (M
3!
h)³  _,

3

3
bu yerda ikkinchi qoʻshiluvchidan boshlan barcha keyingilari qoʻshiluvchilar M₃h dan kichik.
Natijada quyidagi tengsizlikka kelamiz:
_{ } exp(M ₃ L) 1 _{Mh2  M} exp(M ₃ L) 1 _h.

h

M

M
i
3 3
Bu olingan baholash (50) baholashning aynan oʻzi, bunda (41) ga koʻra C oʻzgarmas quyidagiga teng:

3
C  ¹  ^{M 2  M 3 M1}  exp(M
^{L)  1}. (52)

2 M ₃
3-natija. Maʼlumki, (50) baholashning oʻng tarafiga koʻra (52) oʻzgarmas i dan bogʻliq emas, shuning uchun quyidagi baholash oʻrinli:

i
max 
i0,1,..,N
^{ Ch} . (53)

Bu baholashdan toʻr qadamining nolga intilishi bilan toʻr yechimi xatolig- ining ham nolga intilishi (bunda u toʻr tugunlari boʻylab nolga tekis yaqin- lashadi) haqidagi (28) munosabat kelib chiqadi.
9-izoh. Agar M₁, M₂, M₃ oʻzgarmaslar maʼlum boʻlsa, u holda toʻr

yechimni talab qilingan ^_*

yoki xuddi shu kabi

aniqlik bilan olish uchun ushbu
Ch  ^_*

CL/N  ^_*
tengsizlikni yechish talab qilinadi; bu tengsizlikni qanoatlantiruvchi kesmalarni boʻlishlar soni N da toʻrning ixtiyoriy tugunida toʻr yechim

xatoligining absolyut miqdori ^_*
aniqlikdan oshib ketmaydi, bu (53)

Foydalanilgan va mustaqil oʻzlashtirishga oid adabiyotlar roʻyxati

1. 
   Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad, Mathlab, Maple (Самоучитель). – М.: НТ Пресс, 2006. – 496 с.
   
2. 
   Арушанян О.Б., Залёткин С.Ф. Численное решение обыкновен- ных дифференциальных уравнений на Фортране. – М.: Изд-во МГУ, 1990.– 336 с.
   
3. 
   Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные мето- ды. – М.: Изд-во Бином. Лаборатория знаний, 2011. – 640 с.
   
4. 
   Бахвалов Н. С., Лапин А. В., Чижонков Е. В. Численные методы в задачах и упражнениях. – М.: Изд-во Бином. Лаборатория знаний, 2010. – 240 с.
   
5. 
   Вержбицкий В. М. Основы численных методов. – М.: Высшая школа, 2009. – 848 с.
   
6. 
   Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математи- ки. М.: Наука, 1966. – 566 б.
   
7. 
   Заусаев А.Ф. Разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Учеб. пособ. - Самара: Самарский гос. техн. ун-т, 2010. - 100 с.
   
8. 
   Исраилов М.И. Ҳисоблаш методлари. 1- қисм. – Тошкент: Ўқитувчи, 2003. – 440 б.
   
9. 
   Исраилов М.И. Ҳисоблаш методлари. 2-қисм. – Тошкент: Ўқитувчи, 2008. – 340 б.
   
10. 
    Калиткин Н.Н., Корякин П.В. Численные методы: в 2 кн. Кн. 2. Методы математической физики. - М.: Издательский центр «Ака- демия», 2013. - 304 с.
    
11. 
    Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Изд-во Лань, 2010. – 608 с.
    
12. 
    Мэтьюз Джон Г., Финк Куртис Д. Численные методы. Использо- вание Matlab. 3-издание: Пер. с англ. – М.: Изд-во дом «Виль- ямс», 2001. - 720 с.
    
13. 
    Самарский А.А. Введение в численные методы. – М.: Изд-во Лань, 2009. - 288 с.
    
14. 
    Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных диффе- ренциальных уравнений. Нежесткие задачи. – М.: Мир, 1990. –
    
15. 
    www.edu.ru; www.edu.uz; www.exponenta.ru; www.intuit.ru; www.ziyonet.uz; www.techlibrary.ru
    

REJA:

Kirish Boshlangʻich tushunchalar Masalaning qoʻyilishi Eylerning oshkor usuli Eyler oshkor usulining yaqinlashishi Foydalanilgan adabiyotlar