Конспект лекций по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

2. Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Понятие о критериях согласия

Одной из важных задач математической статистики является установление теоретического закона распределения случайной величины, характеризующей изучаемый признак по эмпирическому распределению, представляющему вариационный ряд.
Для решения этой задачи необходимо определить вид и параметры закона распределения.
Предположение о виде закона распределения может быть выдвинуто исходя из теоретических предпосылок (например, выполнение условий центральной предельной теоремы может свидетельствовать о возможности нормального закона распределения случайной величины), опыта аналогичных исследований и, наконец, на основании графического изображения эмпирического распределения.
Параметры распределения, как правило, неизвестны, поэтому их заменяют "наилучшими" оценками по выборке.
Как бы хорошо не был подобран теоретический закон распределения, между эмпирическим и теоретическим распределением неизбежны расхождения. Естественно возникает вопрос: объясняются ли эти расхождения только случайными причинами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они являются существенными и связаны с тем, что теоретический закон распределения подобран неудачно? Для ответа на поставленный и аналогичные вопросы в математической статистике разработаны методы проверки статистических гипотез.
Определение 1. Статистические критерии, служащие для проверки гипотез о виде закона распределения, называются критериями согласия.
Если необходимо проверить нулевую гипотезу H₀ о том, что исследуемая случайная величина Х подчиняется некоторому закону распределения, то выбирают некоторую случайную величину U, характеризующую степень расхождения теоретического и эмпирического распределений, закон распределения которой при достаточно больших п известен и практически не зависит от закона распределения случайной величины X.
Зная закон распределения U, можно найти вероятность того, что U приняла значение не меньше, чем фактически наблюдаемое в опыте и. Если вероятность этого  мала, то это означает в соответствии с принципом практической уверенности, что такие, как в опыте u, и большие отклонения практически невозможны. В этом случае гипотезу H₀ отвергают. Если же вероятность P(Uu)= не мала, т. е. расхождение между эмпирическим и теоретическим распределением несущественно, то гипотезу H₀ можно считать правдоподобной или, по крайней мере, не противоречащей опытным данным.