Ko‘pburchakiar perimetri hamda yuzasini hisoblash

MAVZU: Ko‘pburchakiar perimetri hamda yuzasini hisoblash, perimetr va yuza o‘lchov birliklari va ular orasidagi bog‘lanishga doir masalalar yechish.

REJA:

1. 
   KO‘PBURCHAKIAR PERIMETRI HAMDA YUZASINI HISOBLASH
   
2. 
   PERIMETR VA YUZA O‘LCHOV BIRLIKLARI
   
3. 
   ULAR ORASIDAGI BOG‘LANISHGA DOIR MASALALAR YECHISH
   

Geometriyada koʻpburchak — uchtadan kam boʻlmagan chekli sondagi kesmalardan iborat yopiq siniq chiziq. Bunda chiziqning ketma-ket keluvchi har uchta uchi bir toʻgʻri chiziqda yotmasligi shart. Bir tekislikda yotuvchi koʻpburchakning tashkil qiluvchi kesmalari uning tomonlari deyiladi. Koʻpburchak tomonlari kesishmasa, u sodda koʻpburchak deyiladi. Har qanday sodda koʻpburchak tekislikni ikki sohaga ajratadi. Koʻpburchakning umumiy uchga ega boʻlgan tomonlari qoʻshni tomonlar deyiladi. Sodda koʻpburchak uchidan chiquvchi va ikkita qoʻshni tomonlarni oʻz ichiga oluvchi nurlar hosil qilgan burchak ichki soha bilan kesishsa, unga koʻpburchak burchagi deb ataladi. Sodda {\displaystyle n}  ta burchakli koʻpburchak burchaklari yigʻindisi 180°({\displaystyle n} —2) ga teng boʻladi. Agar koʻpburchak uning ixtiyoriy bitta tomonini oʻz ichiga oluvchi toʻgʻri chiziqning bir tomonida yotsa, u qavariq koʻpburchak deyiladi. Sodda koʻpburchakning hamma burchaklari oʻzaro kongruent va hamma tomonlari uzunliklari teng boʻlsa, u muntazam koʻpburchak deyiladi. Har qanday muntazam koʻpburchak uchun ichki va tashqi chizilgan aylanalari mavjud boʻladiKundalik turmushda teng shakllardan tashqari shakli (ko‘rinishi) bir xil, lekin o‘lchamlari turlicha bo‘lgan shakllarga ko‘p duch kelamiz. Tarix va geografiya fanlarida turli masshtabda ishlangan xaritalardan foydalangansiz. Sinf doskasiga ilinadigan va darsliklarda tasvirlangan respublikamizning xaritalari turli o‘lchamda, lekin ular bir xil shaklda (ko‘rinishda). Shuningdek, bitta fototasmadan turli o‘lchamdagi fotosuratlar tayyorlanadi. Bu suratlarning o‘lchamlari turlicha bo‘lsa-da, bir xil ko‘rinishda, ya’ni ular bir-biriga o‘xshaydi (1-rasm). Mashq. 2-rasmda to‘rtta romb tasvirlangan. Ulardan faqat d) va e) romblar bir xil ko‘rinishga ega. Bu romblar nimasi bilan boshqa romblardan ajralib turibdi? Keling, buni birgalikda aniqlaylik. 1. Rasmdan ko‘rinib turibdiki, AD =3, A1D1=2. Rombning tomonlari teng bo‘lgani uchun, tenglikni hosil qilamiz. Bu hola tda romblarning mos tomonlari proporsional deb yuritiladi. 2. ABCD va A1B1C1D1 romblarning mos burchaklari o‘zaro teng. Haqiqatan ham, ∠A =∠A1= 45°, ∠B =∠B1= 135°, ∠C = ∠C1= 45°, ∠D =∠D1 = 135°. Shunday qilib, bu romblarning bir-biriga o‘xshashligining sababi — mos tomonlarining proporsionalligi va mos burchaklarining tengligi deya olamiz. Ixtiyoriy ko‘pburchaklar o‘xshashligi tushunchasi ham shu asosda kiritiladi. Burchaklari soni bir xil (demak, tomonlarining soni ham bir xil) bo‘lgan ko‘pburchaklar bir xil nomli ko‘pburchaklar deb yuritiladi. Ikkita bir xil nomli ABCDE va A1B1C1D1E1 ko‘pburchaklarning burchaklari mana bu tartibda teng bo‘lsin: ∠A=∠A1, ∠B=∠B1, ∠C=∠C1, ∠D=∠D1, ∠E=∠E1. KO‘PBURCHAKLARNING O‘XSHASHLIGI 5 1 A2 B2 D2 C2 A3 B3 D3 C3 A1 B1 D1 C1 A B D C a) b) d) e) 2 Bunday burchaklar mos burchaklar deb yuritiladi. U holda, AB va A1B1, BC va B1C1, CD va C1D1, DE va D1E1, EA va E1A1 tomonlar mos tomonlar deyiladi. Ta’rif. Bir xil nomli ko‘pburchaklardan birining burchaklari ikkinchisining burchaklariga mos ravishda teng, mos tomonlari esa proporsional bo‘lsa, bunday ko‘pburchaklar o‘xshash ko‘pburchaklar deb ataladi (3-rasm). 1. O‘xshash ko‘pburchaklar ta’rifini ayting. 2. O‘xshashlik koeffitsiyenti nima va u qanday aniqlanadi? 3. Agar ABC va DEF uchburchaklarda ∠A=105°, ∠B=35°, ∠E =105°, ∠F =40°, AC = 4,4 sm, AB= 5,2 sm, BC = 7,6 sm, DE =15,6 sm, DF = 22,8 sm, EF =13,2 sm bo‘lsa, ular o‘xshash bo‘ladimi? 4. 2-rasmda tasvirlangan a) va b) romblar nima sababdan o‘xshash emas? b) va d) romblar-chi? 5. 4-rasmdagi ABO va CDO uchburchaklar o‘xshash bo‘lsa, AB, OC kesmalar uzunligini va o‘xshashlik koeffitsiyentini toping. 6. 5-rasmda ABCD A1B1C1D1. AB = 24, BC = 18, CD = = 30, AD = 54, B1C1= 54. A1B1, D1A1 va C1D1 kesmalarni toping. 7*. ABC uchburchak AB va AC tomonlarining o‘rtalari mos ravishda P va Q bo‘lsin. ∆ABC ∆APQ ekanligini isbotlang. Agar ko‘pburchakning barcha uchlari aylanada yotsa, bu ko‘pburchak aylanaga ichki chizilgan, aylana esa ko‘pburchakka tashqi chizilgan deyiladi (1-rasm). Istalgan uchburchakka tashqi aylana chizish mumkinligi va bu aylana markazi uchburchak tomonlarining o‘rta perpendikularlari kesishgan nuqtada yotishini 8-sinfda o‘rgangansiz. Agar ko‘pburchak burchaklari soni uchtadan ortiq bo‘lsa, ko‘pburchakka har doim ham tashqi aylana chizib bo‘lavermaydi. Masalan, to‘g‘ri to‘rtburchakdan farqli parallelogramm uchun tashqi chizilgan aylana mavjud emas (2-rasm). 8-sinf geometriya kursidan ma’lumki, to‘rtburchakka qarama-qarshi burchaklari yig‘indisi 180° ga teng bo‘lganda va faqat shu holda unga tashqi aylana chizish mumkin (3-rasm). 1-masala. O‘tkir burchakli ABC uchburchakning AA1 va BB1 balandliklari H nuqtada kesishadi. A1HB1C to‘rtburchak aylanaga ichki chizilgan ekanligini isbotlang. Yechilishi.AA1 BC va BB1 AC bo‘lgani uchun (4-rasm) ∠HB1C =∠HA1C=90°. Unda ∠HB1C+∠HA1C =180°. To‘rtburchak ichki burchaklari yig‘indisi 360° bo‘lgani uchun: ∠B1CA1+∠B1HC =180°. Demak, A1HB1C to‘rtburchakka tashqi aylana chizish mumkin. Aylanaga ichki chizilgan ko‘pburchak uchlari aylana markazidan teng uzoqlikda yotgani uchun aylana markazi ko‘pburchak tomonlarining o‘rta perpendikularlarida yotadi (5-rasm). Demak, aylanaga ichki chizilgan ko‘pburchak tomonlarining o‘rta perpendikularlari bir nuqtada kesishishi shart. 2-masala. Asosiga tushirilgan balandligi 16 sm bo‘lgan teng yonli uchburchak radiusi 10 sm bo‘lgan aylanaga ichki chizilgan. Uchburchak tomonlarini toping. A B C H A1 B1 4 Yechilishi. ABC uchburchakka tashqi chizilgan aylana markazi O nuqta AC tomonning o‘rta perpendikulari bo‘lgan BD balandlikda yotadi (6-rasm). Unda, OD =BD–OB =16–10=6 (sm) bo‘ladi va Pifagor teoremasiga ko‘ra, AD=√OA2 –OD2 =√102 –62 =8 (sm), AC=2AD=16(sm). Shuningdek, to‘g‘ri burchakli ABD uchburchakda AB =√AD2 +BD2 =√82 +162=8√5 (sm). Javob: 8√5 sm, 8√5 sm, 16 sm. Agar ko‘pburchakning barcha tomonlari aylanaga urinsa, u holda ko‘pburchak aylanaga tashqi chizilgan, aylana esa ko‘pburchakka ichki chizilgan deyiladi (1-rasm). Istalgan uchburchakka ichki aylana chizish mumkinligi va bu aylana markazi uchburchak bissektrisalari kesishgan nuqtada ekanligi bilan 8-sinfda tanishgansiz. Agar ko‘pburchak burchaklari soni uchtadan ortiq bo‘lsa, bu ko‘pburchakka har doim ham ichki aylana chizib bo‘lavermaydi. Masalan, kvadratdan farqli to‘g‘ri to‘rtburchakka ichki aylana chizib bo‘lmaydi (2-rasm). Yana 8-sinf geometriya kursidan ma’lumki, to‘rtburchakka faqat va faqat qarama-qarshi tomonlari yig‘indisi teng bo‘lganda ichki aylana chizish mumkin (3-rasm). Aylanaga tashqi chizilgan ko‘pburchak tomonlari aylanaga uringani uchun aylana markazi shu ko‘pburchak burchaklari bissektrisasida yotadi (4-rasm). Demak, aylanaga tashqi chizilgan ko‘pburchak burchaklarining bissektrisalari bir nuqtada kesishadi. Teorema. Agar r radiusli aylanaga tashqi chizilgan ko‘pburchakning yuzi S, yarim perimetri p bo‘lsa, S =pr bo‘ladi. Isbot. Teorema isbotini aylanaga tashqi chizilgan ABCDEF oltiburchak uchun keltiramiz. Aylana markazi O nuqtani ko‘pburchak uchlari bilan tutashtirib, ko‘pburchakni uchburchaklarga ajratamiz. Bu uchburchaklarning balandliklari r ga teng (5-rasm). Unda, S =SAOB+SBOC+...+SFOA= AB•r+ BC•r +...+ + FA•r = AB+BC+...+FA •r =pr. Teorema isbotlandi. Hamma tomonlari teng va hamma burchaklari teng bo‘lgan qavariq ko‘pburchak muntazam ko‘pburchak deyiladi. Teng tomonli uchburchak, kvadrat muntazam ko‘pburchakka misol bo‘ladi. 1-rasmda muntazam beshburchak, oltiburchak va sakkizburchaklar tasvirlangan. Masala. Muntazam A1A2A3A4A5 beshburchakda A1A3 va A1A4 diagonallari teng ekanligini ko‘rsating (2-rasm). A1A2A3A4A5 — muntazam beshburchak A1A3 = A1A4 Yechilishi. Uchburchaklar tengligining TBT alomatiga ko‘ra, A1 A2 A3 va A1 A5 A4 uchburchaklar o‘zaro teng. Haqiqatan ham, muntazam ko‘pburchakning tomonlari teng va burchaklari teng bo‘lgani uchun, A1A2= A1A5, A2A3= A5A4 va ∠A1A2A3=∠A1A5A4. Demak, ∆A1A2A3=∆A1A5A4. Bundan A1A3=A1A4 ekanligi kelib chiqadi.
Hamma tomonlari teng va hamma burchaklari teng bo`lgan qavariq
ko`pburchak muntazam ko`pburchak deyiladi.

Eng sodda muntazam ko`pburchaklar

Muntazam k o`pburchaklar

Teorema: Muntazam n burchakning har bir burchagi


Isbot:

Muntazam n burchakning burchaklari yig`indisi

ga teng.
Demak, uning har bir burchagi



ga teng