Kopyoqlilar va ularga doir masalalar tuzishning ayrim muammolari

H
o`qqa perpendikulyar aylanish tekisligini o`tkazamiz, buning uchun 
gorizontal proeksiyasi n nuqtadan P
H
ga nO perpendikulyar tushiriladi. Px ni 
markaz qilib, Pxn’ radius bilan yoy chiziladi. Bu yoy nO perpendikulyarning 
davomi bilan kesishib, N nuqtaning H ga jipslashtirilgandagi yangi o`rni N
1
(n’
1
) ni 
hosil qiladi. n’
1 
ni Px nuqta bilan tutashtirib, Pv
1
uni topamiz. 
P teknslikdagi 1(1'),2(2'),3(3'),4(4') nuqtalardan gorizontallar o`tkazib, Pv 
izda 1', 2', 3', 4' nuqtalar belgilanadi. Bu nuqtalar ham Pv bilan birga aylanib, Pv
1
da 1’
1
, 2’
1
, 3’
1, 
4’
1
nuqtalarni hosil qiladi. Gorizontallar esa hamma vaqt P
H
ga 
paralleligicha qoladi. 1, 2, 3, 4 nuqtalarning aylanish tekisligining gorizontal izi esa 
P
H
ga perpendikulyar bo`lib o`tadi. Shunday qilib 1’
1
, 2’
1
, 3’
1, 
4’
1
nuqtalardan P
H
 
ga parallel chiziqlar o`tkazib, ularming 1, 2, 3, 4 nuqtalardan P
H
ga o`tkazilgan 
mos perpendikulyarlar bilan kesishgan joyida 1
0
,2
0
,3
0
,4
0 
nuqtalarni aniqlaymiz. 
Ularni o`zaro tutashtirsak, 1
0
, 2
0
, 3
0
, 4
0 -
kesim shaklining haqiqiy ko`rinishi hosil 
bo`ladi. 
4-masala. 3.15-shakl, a da asosi H tekislikda joylashgan og’ma SABC 
piramidaning umumiy vaziyatdagi P (P
n
, P
v
) tekislik bilan kesganda hosil bo`lgan 
kesim shakli haqiqiy kattaligi topilsin va piramidaning yoyilmasi yasalsin. 

---

36 
Yechish. Piramidaning P tekislik bilan kesilishidan hosil bo’lgan shaklning 
proyeksiyalarini 123 (123, 1'2'3') yasash uchun piramida qirralarining P tekislik 
bilan kesishish nuqtalari topilgan (3.15-shakl, b). Masalan, piramidaning CS 
qirrasining P tekislik bilan kesishish nuqtasini topish uchun oldin bu qirra orqali 
yordamchi frontal proyeksiyalovchi Q tekislik o’tkazilgan va Q bilan P 
tekisliklarning o’zaro kesishish chizig’i (mn, m’n') yasalgan; keyin mn bilan cs 
ning kesishish joyida 3 nuqta va undan vertikal bog’lovchi chiziq chiqarib c's' da 
3' nuqta topilgan. AS va BS qirralarning P tekislik bilan kesishish nuqtalari (1,1'; 
2,2') ham xuddi shu tartibda topilgan. Hosil bo’lgan 123 va 1'2'3' kesim shaklining 
proyeksiyalaridir. Kesim shaklining haqiqiy kattaligi P tekislikni H proyeksiya 
tekisligiga jipslashtirib topilgan. 
Piramidaning yoyilmasini yasash uchun uning yon qirralarining haqiqiy 
uzunligini va asosining haqiqiy kattaligini bilish lozim (3.15-shakl, c).
Bu masalada piramida asosining gorizontal proyeksiyasi uning haqiqiy 
kattaligidir (abc=ABC). Piramida yon qirralarining haqiqiy uzunliklari tekis 
parallel ko’chirish usuli yordamida topilgan. Shaklda chiziqlar ustma-ust 
tushmasligi uchun OX o’qidagi birorta s
0
nuqtadan chiqarilgan perpendikulyar 
bo’yicha s1s' = s