Котова лидия Владимировна

приложения 
изученных в теории 
чисел и алгебре 
разделов
ВКР
Модуль
М4
Теория чисел
или модуль М0
Модуль М1
Алгебра матриц 
или модуль М0
ОП
Продемонстрировать 
возможности 
применения элементов 
теории чисел в 
решении олимпиадных 
задач
Профессиональная 
деятельность
Рис. 2.2.4. Модули М2 и М3 в общей системе обучения дисциплине МСЗИ 

---

78 
Модуль М4 знакомит студентов с современными криптосистемами и их 
модификациями, разработанными в конце прошлого столетия.
В рамках модуля изучается:
односторонние функции и функции с 
секретом; криптосистема без передачи ключей; криптосистема с открытым 
ключом и оценка ее надежности; электронная подпись; однозначность 
применения ключей абонентами при пользовании электронной подписью; 
дискретный логарифм; методы вычисления дискретного логарифма: индексы, 
алгоритм согласования, метод Сильвестра-Полига-Хеллмана, алгоритм 
исчисления порядка. 
Изучение теоретических основ этих проблем требует серьезной 
математической подготовки в области теории чисел и способствует 
реализации внутрипредметных и межпредметных связей, углублению знаний 
базовых курсов алгебры и теории чисел, их прикладной составляющей. 
Сегодня система RSA уже рассматривается в школьных учебниках по 
информатике (И.А. Калинин, Н.Н. Самылкина [68]), таким образом, изучение 
модуля М4 играет важную роль в формировании профессиональной 
компетентности 
будущего 
учителя. 
Современные 
правовые 
и 
технологические вопросы защиты информации, рассмотренные на занятиях 
данного 
модуля, 
помогут 
повысить 
общекультурный 
и 
общепрофессиональный уровень обучающихся, расширяя возможности их 
последующего обучения и выбора профессионального приложения своим 
знаниям.
Внешние ППКМ4 - ППК теории чисел. Актуальными внутренними ППК 
дисциплины являются для данного модуля ТППК-1, ТППК-2, ТППК-3, 
ТППК-4, ТППК-5, ПППК-1, ПППК-2, ПППК-5, ПППК-6, ОПППК-1, 
ОПППК-2, ОПППК-3, ОПППК-4, ОПППК-5. 
Уточняя их, мы получаем следующие ТППКМ4, ПППКМ4 и ОПППКМ4 
модуля М4:
- знает принцип работы несимметричных криптосистем (ТППКМ4-1); 

---

79 
- имеет понятие о дискретном логарифме, алгоритмических проблемах его 
вычисления (ТППКМ4-2);
- умеет реализовывать модели передачи сообщений с помощью различных 
модификаций системы RSA (ПППКМ4-1); 
- знает особенности работы электронной подписи (ПППКМ4-2);
- способен реализовывать алгоритмы вычисления дискретного алгоритма 
(ПППКМ4-3);
- способен доступно школьникам объяснить принцип действия современных 
криптосистем (ОПППКМ4-1).
Детализация ППК МСЗИ на уровне модулей может иметь разную 
«окраску» и в зависимости от дополнительных профилей подготовки 
студентов, и в связи с конкретными целями освоения д/в сопутствующей 
тематики, индивидуальной работы со студентами и т.д. Пример такой 
вариативной модели уточнения целей можно увидеть на рисунке 2.2.5.
ППК дисциплины «Методы и средства защиты информации»:
владеет основными математическими методами и принципами построения 
криптосистем, методами криптоанализа (ТППК-4); знает базовые направления 
математических разработок, направленных на совершенствование защиты информации 
(ТППК-5); способен реализовывать алгоритмы симметричных и ассиметричных 
криптосистем (ПППК-2); способен использовать изученный материал для демонстрации 
школьникам современных методов защиты информации, в том числе информационной 
защиты работы банковской сферы (ОПППК-1).
ППК модуля М4 «Система RSA»: знает принцип работы несимметричных криптосистем 
(ТППКМ4-1); умеет реализовывать модели передачи сообщений с помощью различных 
модификаций системы RSA (ПППКМ4-1); знает особенности работы электронной 
подписи (ПППКМ4-2).
Для профиля подготовки 
«Информатика»: 
способен 
строить 
алгоритмы 
для 
реализации 
несимметричных 
криптосистем. 
Для профиля подготовки 
«Математика 
и 
Информатика»: способен 
решать 
задачи 
математического 
обеспечения 
криптографических 
систем.
Для 
профиля 
подготовки 
«Информатика и Экономика»: 
способен понимать принцип 
действия 
электронной 
подписи. 
Рис. 2.2.5. Вариативные целевые аспекты изучения модуля М4
 
 

---

80 
Примеры Т-заданий. 
• 
В системе «с открытым ключом» по модулю 77 найдите три пары 
ключей. Есть ли еще такие пары? Сколько их всего? 
• 
Сравните количества различных пар ключей для модулей 69 и 65. 
• 
Найдите, при каком модуле в системе «без передачи ключей» 
можно использовать числа 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21 в качестве одного из 
ключей. 
• 
Составьте таблицу индексов по модулю 13, используя в качестве 
основания наибольший по абсолютной величине первообразный корень из 
отрезка [0;10]. 
Примеры П-заданий. 
• 
Приведите пример, когда в системе «электронная подпись» 
использовании 
неправильного 
порядка 
шифрования 
приводит 
к 
неправильному (правильному) дешифрованию.
• 
Решите задачу дискретного логарифмирования любыми двумя 
известными вам способами: 
9
4
53 . 
В качестве основной литературы студентам могут быть предложены 
разработанные на кафедре теории чисел математического факультета МПГУ 
пособия: Деза Е.И., Котова Л.В. «Теоретико-числовые основы защиты 
информации» [84];
Нечаев В.И. «Элементы криптографии. Основы теории 
защиты информации» [129].
Дополнительная литература может быть представлена работами [3], [7], 
[10], [11], [13], [15], [22], [26], [29], [30], [31], [34], [40], [41], [42], [55], [58], 
[68], [74], [98], [99] [122], [127], [128], [130], [133], [142], [143], [144], [174]. 
Для студентов, имеющих дополнительный социально-экономический 
профиль подготовки по завершению изучения модуля М4 может быть 
предложен дополнительный модуль МЭ. 

---

81 
МЭ ЗАЩИТА ИНФОРМАЦИИ В ЭКОНОМИКЕ. Защита информации 
в банковском деле. Электронные подписи. Защита электронного денежного 
оборота. Контрольные цифры штрихкодов и электронных карт 
Модуль 
М7 знакомит 
с 
теоретико-числовыми 
проблемами, 
возникшими в связи с задачей вскрытия системы RSA.
В рамках модуля изучаются: задача вскрытия системы RSA -
факторизация натуральных чисел;
 
классические методы факторизации - 
последовательное деление и его модификации, критерий Эйлера, построение 
рекуррентной последовательности, метод использования квадратичных 
форм; современные методы факторизации: Полларда, Полларда-Флойда, 
квадратичного решета; метод вскрытия системы RSA. 
Для изучения требуется предварительное знакомство с такими