Котова лидия Владимировна

3.1.1. Профиль подготовки «Информатика». 
Первая программа была разработана именно для этого профиля 
подготовки [97]. Наглядно траекторию изучения дисциплины МСЗИ в рамках 
профиля «Информатика» со сроком обучения 4 года можно увидеть в таблице 
3.1.1. В таблице также приведены предусмотренные учебным планом д/в, 
позволяющие осветить вариативные модули вне самой дисциплины МСЗИ. 
Таблица 3.1.1.
Место дисциплины МСЗИ в ООП профиля подготовки«Информатика»
Профиль подготовки«Информатика» 
I, II 
Математическая 
подготовка 
Программирование 
 
Д/в «Математические 
основы информатики» М5 
III 
Теория чисел  
 
 
 
 
 
Д/в «Теоретико-числовые 
алгоритмы в 
криптографии»
М6, М7 
IV 
Методы и средства защиты информации 
 
М1 
М2 
М0 
М3 
М4 
М8

---

112 
Отметим, что модуль М5 является самостоятельным, освещает общую 
теорию построения алгоритмов и оценки их эффективности и органично 
вписывается в виде раздела в дисциплину по выбору «Математические 
основы информатики». Как правило, такие дисциплины изучались группой 
целиком (в силу небольшой численности студентов), и таким образом, к 
моменту изучения дисциплины МСЗИ студенты уже были знакомы с 
оценками основных арифметических и теоретико-числовых алгоритмов, что 
являлось существенным подспорьем при рассмотрении этих алгоритмов с 
точки зрения эффективности защиты информации.
Изучение теоретико-числовых алгоритмов в криптографии в 6-ом 
семестре (сразу после изучения курса теории чисел, 5-ый семестр) позволило 
своевременно рассмотреть современные приложения теории чисел и тем 
самым повысить практическую значимость и прикладную направленность 
базового математического курса (таблица 3.1.2). 
В этих условиях мы поменяли местами модули и в рамках дисциплины 
по выбору изучали базовый модуль М7, так как он основан на теоретико-
числовых алгоритмах и связан с вариативным модулем М6 и содержательно, 
и с точки зрения построения ЛИР, о чем уже говорилось ранее. Это позволило 
нам включить в изучение дисциплины МСЗИ вариативный модуль М8, и, тем 
самым, полностью реализовать содержательную составляющую методов и 
средств современной защиты информации и продемонстрировать студентам 
всю широту математических приложений. Как видно из таблицы 3.1.2, мы 
включаем вспомогательный модуль М0 в изучение самой дисциплины. При 
указанной траектории он позволяет рассмотреть алгебраические основы, 
которые необходимы для изучения модулей М3 и М8. 
В некоторых случаях дисциплина по выбору «Теоретико-числовые 
алгоритмы в криптографии» (ТЧАК) изучалась параллельно с дисциплиной 
МСЗИ, что позволяло синхронизировать изучение этих дисциплин, поэтапно 
дополняя каждую из них, что видно из таблицы 3.1.3. 

---

113 
Таблица 3.1.2.
Примерное содержание дисциплины по выбору «Теоретико-числовые 
алгоритмы в криптографии» (1) 
№ Тема 
Модуль
1 
ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ 
АЛГОРИТМЫ 
КАК 
СОВРЕМЕННАЯ 
НЕОБХОДИМОСТЬ.
1.1 Теория защиты информации. 
Терминология. Основные характеритики криптосистем 
М1 
1.2 Теория защиты информации. 
Современные криптографические системы. Создание системы RSA как 
постановка новой задачи в области вычислительных алгоритмов. 
М4 
2. 
ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ АЛГОРИТМЫ. ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ.
2.1 Дискретный логарифм. 
Методы вычисления дискретного логарифма: индексы, алгоритм 
согласования, метод Сильвестра-Полига-Хеллмана, алгоритм исчисления 
порядка. 
М4
2.2 Простые числа. 
Критерии простоты. Тесты на простоту. Тесты Ферма, Соловэя-
Штрассена, Миллера-Рабина. Псевдопростые числа. Числа Ферма, Эйлера, 
Кармайкла, сильные псевдопростые. Генерация больших простых, больших 
псевдопростых чисел. 
М6 
2.3 Факторизация натуральных чисел. 
Классические методы факторизации: метод последовательного деления и 
его модификации. Критерий Эйлера, Построение рекуррентной 
последовательности, Метод использования квадратичных форм. Идеи 
Ферма и Лежандра. Современные методы. Метод Полларда, метод 
Полларда-Флойда. Цепные дроби, метод квадратичного решета и 
вскрытие системы RSA. 
М7 
Таблица 3.1.3.
Параллельное изучение дисциплины МСЗИ и д/в ТЧАК(2) 
Модуль 
МСЗИ 
Модуль 
ТЧАК(2) 
М1 
ИЗ ИСТОРИИ КРИПТОГРАФИИ. 
История возникновения основных 
терминов. Изучение исторических 
аспектов возникновения различных 
видов 
шифров, 
методов 
их 
вскрытия и усовершенствований. 
Задачи, возникающие в процессе 
развития 
шифровального 
искусства.  
М8
ШИФРОВАНИЕ И СРЕДСТВА 
РАДИОЛОКАЦИИ. 
Решение задачи шифрования 
информации, продолжая идею 
одноразового 
шифровального 
блокнота, возникшую еще в 19 
веке. 
М2 
НЕКОТОРЫЕ 
ПРОСТЫЕ 
КРИПТОСИСТЕМЫ.
Основные 
элементы 
криптосистемы. 
Аффинные 
отображения. 
Дешифрование 
аффинных 
криптосистем. 
КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ.
Многочлены 
над 
конечным 
полем. Порядок многочлена над 
конечным полем.

---

114 
Принцип 
Керкгоффса. 
Криптоанализ 
аффинных 
криптосистем. 
М3
ШИФРУЮЩИЕ 
МАТРИЦЫ. 
Представление биграмм в виде 
векторов. Матричные аффинные 
преобразования. 
Условия 
существования криптосистемы. 
Криптоанализ системы. 
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 
НАД КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ. 
Линейные 
рекуррентные 
последовательности 
и 
линейные 
рекуррентные 
уравнения (ЛРУ) над конечным 
полем. Периодичность решений 
ЛРУ. 
Построение 
псевдослучайной 
последовательности заданного 
периода. 
М4 
НОВЫЕ 
НАПРАВЛЕНИЯ. 
СИСТЕМА RSA. 
Односторонние 
функции 
и 
функции 
с 
секретом. 
Криптосистема 
без 
передачи 
ключей. 
Криптосистема 
с 
открытым ключом и оценка ее 
надежности. 
Электронная 
подпись.
М4 
ДИСКРЕТНЫЙ ЛОГАРИФМ. 
Методы 
вычисления 
дискретного 
логарифма: 
индексы, 
алгоритм 
согласования, 
метод 
Сильвестра- Полига-Хеллмана, 
алгоритм исчисления порядка. 
М7 
ФАКТОРИЗАЦИЯ 
НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. 
Классические 
методы 
факторизации: 
метод 
последовательного деления и его 
модификации. Критерий Эйлера, 
Построение 
рекуррентной 
последовательности, 
Метод 
использования 
квадратичных 
форм. Идеи Ферма и Лежандра. 
Современные 
методы. 
Метод 
Полларда, 
метод 
Полларда- 
Флойда. Цепные дроби, метод 
квадратичного 
решета 
и 
вскрытие системы RSA. 
М6 
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА.
Критерии простоты. Тесты на 
простоту. 
Тесты 
Ферма, 
Соловэя-Штрассена, Миллера-
Рабина. Псевдопростые числа. 
Числа 
Ферма, 
Эйлера, 
Кармайкла, 
сильные 
псевдопростые. 
Генерация 
больших 
простых, 
больших 
псевдопростых чисел.