Kriptografiyada rsa shifrlash algoritmida, elleptik egri chiziqlarda va kvant kriptografiyasida qo‘llaniladi

Kriptografiyada RSA shifrlash algoritmida, elleptik egri chiziqlarda va kvant kriptografiyasida qo‘llaniladi.
RSA algoritmi ochiq kalitli shifrlash usuli bo’lib, shifrlashning eng xavfsiz usuli hisoblanadi. U 1978 yilda Rivest, Shamir va Adleman tomonidan ixtiro qilingan va shuning uchun RSA algoritmi deb nomlangan. RSA algoritmi modul arifmetikasining darajaga ko’tarish amalidan foydalanishga asoslangan.
Rayvest, Shamir va Adlmen tomonidan yaratilgan sxema daraja koʼrsatkichiga asoslangan. Ochiq matn bloklarga ajratilib shifrlanadi, har bir blok baʼzi berilgan sonidan kichik boʼlgan ikkilik qiymatga ega boʼladi. Bundan kelib chiqadiki blok uzunligi dan kichik yoki teng boʼlishi kerak. Umuman olganda amaliyotda blok uzunligi ga teng deb olinadi, bu yerda . Ochiq matn bloki va shifrlangan matn bloki uchun shifrlash va deshifrlash quyidagi formula bilan hisoblash mumkin.


Joʼnatuvchi ham, qabul qiluvchi ham ni qiymatini bilishi kerak. Joʼnatuvchi ni qiymatini, qabul qiluvchi esa faqat ni qiymatini bilishadi. Ushbu sxema ochiq kalitli shifrlash algoritmi hisoblanadi, – ochiq kalit va – maxfiy kalit hisoblanadi. Bu algoritm ochiq kalit yordamida shifrlanishi uchun, quyidagi talablar bajarilishi kerak.

1. 
   Shunday , va qiymatlar mavjud bo’lish kerakki, barcha uchun tenglik o’rinli bo’lishi kerak.
   
2. 
   Barcha uchun va ni hisoblash oson bo’lishi kerak.
   
3. 
   Amaliy jihatdan va ni bilmasdan turib ni qiymatini bilish mumkin bo’lmasligi kerak.
   

Birinchi shartga binoan quyidagi munosabatni topish kerak
.
Eyler funksiyasiga asosan: har qanday ikkita va tub son va har qanday va butun sonlar uchun, va , va ixtiyoriy butun son uchun quyidagi munosabat bajariladi.

Bu yerda Eyler funksiyasi bo’lib, dan kichik va bilan o’zaro tub bo’lgan munosabat butun son. Eyler funksiyasi bilan o’zaro tub bo’lgan son tanlab olinadi va talab qilinayotgan munosabat quyidagi shart asosida bajariladi.

Bu quyidagi munosabat bilan ekvivalent:
,
,
va , modul bo’yicha o’zaro teskari son, ya’ni
.
Yuqorida keltirilgan parametrlar asosida RSA sxemasini quyidagicha tasniflash mumkin:
va – tub sonlar (maxfiy, tanlab olinadi),
(ochiq, hisoblanadi),
shunday , , (ochiq, tanlab olinadi),
(maxfiy, hisoblanadi).
Maxfiy kalit dan, ochiq kalit esa dan iborat boʼladi. Faraz qilaylik Bob nomli foydalanuvchi ochiq kalitini elon qildi va Alisa nomli foydalanuvchi unga xabarni joʼnatmoqchi. Alisa hisoblab ni joʼnatadi. Shifrlangan matnni qabul qilgan Bob yordamida deshifrlab dastlabki ochiq matnga ega boʼladi (4-rasm).

4-rasm.
Misol.

• 
  Ikkita tub son tanlab olinadi, va .
  
• 
  hisoblanadi.
  
• 
  Eyler funksiyasi hisoblanadi .
  
• 
  Eyler funksiyasi bilan o’zaro tub bo’lgan va undan kichkina bo’lgan e tanlab olinadi; bizni, misolimizda .
  
• 
  ga ko’ra va shartni qanoatlantiruvchi soni topiladi. dan kelib chiqadiki ga teng.
  

Natijada ochiq kalit va yopiq kalit hosil bo’ladi. Yuqoridagi misolda ochiq matn qiymati olingan. Shifrlash formulasiga ko’ra ochiq matn qiymati ochiq kalit qiymati yordamida darajaga ko’tarilib, modul bo’yicha qiymati olinadi, ya’ni 17 soni 23 darajaga ko’tariladi, natijani 407 ga bo’linsa, qoldiq 18 ga teng bo’ladi. va shuning uchun ham shifrlangan matn 18 ga teng bo’ladi. Deshifrlash uchun esa shifrlangan matn qiymati maxfiy kalit qiymati yordamida darajaga ko’tarilib, modul bo’yicha qiymati olinadi, ya’ni amali hisoblanadi va dastlabki ochiq matn qiymatiga ega bo’linadi, ya’ni 17 ga.
Agar RSA algoritmida kichik tub sonlardan ( 𝑣𝑎 𝑢𝑐ℎ𝑢𝑛) foydalanilgan taqdirda, hujumchi ochiq bo’lgan n ni osonlik bilan ikkita tub sonning ko’paytmasi ko’rinishida yozishi mumkin. Shundan so’ng, ochiq kalitning ikkinchi qism dan foydalangan holda, shaxsiy kalit ni hisoblay oladi. Shuning uchun RSA algoritmidan amalda foydalanish uchun tanlanuvchi tub sonlar uzunligi kamida 2048 bit bo’lishi talab etiladi. Bundan tashqari, RSA algoritmini buzish faqat faktorlash muammosiga bog‘liqligi isbotlanmagan.