Круглые волноводы Лекция Электрические и магнитные волны в круглом волноводе

Глава 3. Круглые волноводы


Лекция 7. Электрические и магнитные волны в круглом волноводе
Круглый металлический волновод-это линия передачи в виде металлической трубы круглого поперечного сечения радиуса а. Задача определения поля в круглом волноводе решается в той же общей постановке, что и в прямоугольном волноводе: стенки волновода обладают бесконечной проводимостью, а заполняющая его среда - идеальный диэлектрик с параметрами  и .. Волновод бесконечно протяжённый (чисто бегущая волна). Поле монохроматическое. Будем считать, что источник находится за пределами рассматриваемой части линии передачи и создаваемая им волна распространяется вдоль оси z. Используемая цилиндрическая система координат и радиус а поперечного сечения волновода показаны на рис.3.1.



Рис. 3.1. Круглый волновод
В круглом волноводе с однородным диэлектрическим заполнением могут распространяться магнитные волны и электрические волны (m = 0,1,2,... , n = 1, 2, 3, ...) и невозможно существование Т волны. Для определения поля электрических и магнитных волн необходимо решить в цилиндрической системе координат однородные волновые уравнения Гельмгольца для продольных составляющих векторов поля. Как и в прямоугольном волноводе используется метод разделения переменных, согласно которому искомое решение представляется в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной (r или φ). Полученное решение подчиняем граничным условиям: на идеально проводящих стенках волновода касательная составляющая вектора напряженности электрического поля равна нулю. Приведем решение в конечном виде.
Электромагнитное поле распространяющейся волны имеет компоненты:


,
,
,
, , , (3.1)
где - функция Бесселя m-го порядка от аргумента ;
а- радиус волновода;
- n-й корень функция Бесселя m-го порядка (n=1,2,…);
- первая производная функции Бесселя m-го порядка от аргумента ;
m- индекс, принимающий числовые значения
Электромагнитное поле распространяющейся волны типа имеет компоненты:
,
,
,
, , , (3.2)
где - функция Бесселя m-го порядка от аргумента ;
– n-й корень первой производной функция Бесселя m-го порядка (n=1,2,…);
- первая производная функции Бесселя m-го порядка от аргумента .
Вкратце познакомимся с функциями Бесселя. Аналитически функция Бесселя выражается через бесконечный сходящийся ряд достаточно сложной структуры. В цилиндрической системе координат функция Бесселя играют такую же роль, что и тригонометрические функции в прямоугольной системе координат (в асимптотике при больших аргументах) они выражается через косинус определенного аргумента. Но функция Бесселя имеет существенные отличия от гармонических функций:

1. 
   Функция Бесселя в отличие от гармонических не является периодической. Это непериодическая, непрерывная колеблющаяся функция с монотонно убывающей амплитудой с ростом аргумента.
   
2. 
   Все функции Бесселя в нуле равны нулю, за исключением J₀(0)=1.
   
3. 
   Функция Бесселя и её производные имеют бесконечное множество корней. Корни – это значения аргумента, при которых функция Бесселя или ее производная обращается в нуль. Введем обозначения корней: J_m(ξ_mn)=0 , где ξ_mn – n-й корень функции Бесселя m-ого порядка (n=1,2….). Первая производная функции Бесселя по аргументу обозначена в (3.1),(3.2) штрихом и обращается в нуль (η_mn)=0, где η_mn-n корень первой производной функции Бесселя m-ого порядка (n=1,2….). Функции Бесселя нулевого, первого и второго порядков показаны на рис.3.2.
   

Рис. 3.2 Функции Бесселя нулевого, первого и второго порядков

В таблицах 3.1 и 3.2 со справочными целями приведены значения некоторых корней функций Бесселя и их первых производных.

Таблица 3.1

Значения корней функций Бесселя J_m(_mn)

	n = 1	n = 2	n = 3
m = 0	2,405	5,520	8,654
m = 1	3,832	7,016	10,173
m = 2	5,136	8,417	11,620
m = 3	6,380	9,761	13,015

Таблица 3.2

Значения корней первой производной функций Бесселя J_m^’(_mn)

	n = 1	n = 2	n = 3
m = 0	3,832	7,016	10,174
m = 1	1,841	5,331	8,536
m = 2	3,054	6,705	9,965
m = 3	4,200	8,017	11,403

Индексы m и n означают: m означает число вариаций поля по угловой координате φ, а n - число вариаций поля по радиальной координате r. В частном случае m=0 амплитуды векторов электромагнитного поля не зависят от угловой координаты, структура поля обладает осевой симметрией: подобные типы волн называют симметричными.

Критические длины волн типа находят по общей формуле
и они вычисляются
(3.3)
Соответственно и для волн типа
(3.4)
Волны Н_1n и Е_0n имеют равные критические длины волн и будут вырождены.
Конкретный тип волны в волноводе будет распространяться при условии:
, ,
где – критическая длина волны данного типа колебания;
– критическая частота.
При вычисленном параметре основные параметры волн в круглом волновода , , , , , , , рассчитываются по тем же формулам, что и в прямоугольном волноводе.
Коэффициент затухания, обусловленный потерями в металлических стенках круглого волновода, вычисляется следующим образом:

• 
  для волн типа
  

, (3.5)

• 
  для волн типа
  

, . (3.6)
С оотношение между критическими длинами волн нескольких первых типов показано на рис.3.3
Рис. 3.3. Значения λ_кр типов волн в круглых волноводах