Kurs ishi mavzu : lebeg-stiltes o’lchovi va integrali ilmiy rahbari: I. Zaynobiddinov Reja Kirish Asosiy qism Stiltes o`lchovini keltirib chiqaruvchi funksiya Lеbеg Stiltеs o`lchоvi Lеbеg Stiltеs integrali Xulosa Adabiyotlar Matematika

Isbot: Zaruriyligi. (4) o`lchovning additiv o`lchov deb , funksiyaning chapdan uzluksiz ekanini ko`rsatamiz. Faraz qilaylik, funksiyaning ning biror nuqtasida chapdan uzluksiz bo`lmasin, ya`ni nuqtada funksiya uchun

munosabat o`rinli bo`lsin, dan shu nuqtaga o`sib intiladigan ketma-ketlikni olamiz:
(5)
funksiya kamaymaydigan funksiya bo`lganligi sababli

limit mavjud va farazimizga asosan


munosabat o`rinli. (5) munosabatga asosan ushbu



munosabatning o`rinli ekani ravshan. Bu munosabatdan va da ekanligidan,

tenglik kelib chiqadi. Bundan va o`lchovning additivligidan



tenglikni olamiz. Natijada (4) tenglikka asosan ushbu

yoki ushbu

tenglik hosil bo`ladi. Bu esa farazimizga zid. Demak, funksiya chapdan uzluksiz ekan.
Yetarliligi: funksiyani da chapdan uzluksiz deb, (4) tenglik bilan aniqlangan o`lchovning additivligini ko`rsatamiz.
Faraz qilaylik,
SH, (6)
bo`lsin. U holda har qanday son uchun ushbu

munosabat o`rinli bo`ladi. Bundan va o`lchovning additivlik hamda monotonlik xossasidan
(7)
Endi teskari tengsizlikni isbotlaymiz. (6) munosabatda bo`lsin, u holda munosabatni qanoatlantiruvchi son hamma vaqt mavjud. funksiya chapdan uzluksiz bo`lganligi sababli ixtiyoriy son uchun har bir natural sonda munosabatni qanoatlantiruvchi shunday sonlar topiladiki, ular uchun ushbu

munosabat o`rinli bo`ladi. Bundan
(8)
tengsizlik kelib chiqadi. Bu yerda son (6) munosabatdagi yarim intervalni tashkil etuvchi son. sonlarning olinishiga asosan
munosabat o`rinli. Demak, yarim intervalda joylashgan segment soni sanoqli intervallar sistemasi bilan qoplanar ekan.
Borel-Lebeg teoremasiga asosan bu sistemadan segmentni qoplaydigan soni chekli qism sistemani ajratib olish mumkun.
Agar soni chekli intervallar sistemasi segmentni qoplasa, u holda yarim intervallar sistemasi ham shu segmentni qoplaydi, ya`ni
.
Bundan quyidagi munosabat bevosita kelib chiqadi:

Bu munosabatdan hamda o`lchovning additivlik va monotonlik xossasidan ushbu

(9)
tengsizlikka ega bo`lamiz. (4) tenglikka asosan

tengliklar o`rinli bo`lgani uchun (9) munosabatdan ushbu

tengsizlik kelib chiqadi. Bundan va funksiyaning kamaymaydigan ekanligidan ushbu

munosabatga ega bo`lamiz. Buning o`ng tamonidagi yig`indi ostidagi ifodaga (8) tengsizlikni qo`llab ushbu

tengsizlikni olamiz, bu tengsizlik munosabatni qanoatlantiruvchi har qanday son uchun o`rinli bo`lganligi sababli funksiyaning chapdan uzluksizligiga asosan, bo`lganda ham o`rinlidir, ya`ni

bundan va sonning ixtiyoriyligidan ushbu

tengsizlik kelib chiqadi.Bu munosabatdan (4) ga asosan
ushbu

tenglikka ega bo`lamiz. Bu va (7) tenglik teoremani isbotlaydi.
Shunday qilib, yarim halqada (4) tenglik bilan aniqlanadigan additiv o`lchovga ega bo`ldik.
Bu o`lchovni sistemani o`z ichiga olgan minimal halqaga davom ettirib, additiv o`lchovga ega bo`lamiz. Bu o`lchov funksiyaga mos bo`lgan Lebeg-Stiltes o`lchovi deyiladi. funksiya esa o`lchovni keltirib chiqaruvchi funksiya deyiladi.
Lebeg-Stiltes o`lchovining uchta muhim xususiy holi bilan tanishib chiqamiz.
1. Faraz qilaylik, funksiya 20-ma`ruzada (1) tenglik bilan aniqlangan chapdan pog`onali funksiya bo`lsin. Bu funksiyaning uzilish nuqtalarini

bo`lib , shu nuqtalarga mos kelgan sakrash esa



sonlardan iborat bo`lsin. 1- ta`rifda sifatida funksiyani olamiz . U holda funksiya keltirib chiqargan o`lchov bo`yicha oraliqning har qanday qismi o`lchovli bo`lib, to`plamning o`lchovi shu to`plamga tegishli larga mos kelgan larning yig`indisiga teng, ya`ni
(10)
haqiqatan, Lebeg-Stiltes o`lchovining ta`rifidan ko`rinadiki , har bir nuqtaning o`lchovi ga teng, ya`ni

Agar bo`lsa , u holda

tenglik o`rinli . Demak o`lchovining tashuvchisi ekan . Bundan va o`lchovning additivligidan har qanday uchun (10) tenglik kelib chiqadi.