Kurs ishi mavzu: Aniqmas integrallar

ANIQMAS INTEGRALLAR JADVALI
E ngsoddaelementarfunksiyalarhosilalarining jadvalidan bevosita unga mos aniqmas integrallarning jadvali kelib chiqadi. Bu jadvalodatdaquyidagiko’rinishdakeltiriladi:


Bu jadvaldagi barcha formulalar (ayniqsa 10⁰-12⁰ tengliklaning) to’g’riligi o’ng tarafda turgan ifodadan bevosita hosila olish bilan tekshiriladi


INTEGRALLASHNING ASOSIY USULLARI.
1.Aniqmasintegralningchiziqliligi.Aniqmasintegralningasosoiyxossalaridan biriuningchiziqliligidir.
1-Tasdiq.Agar f va g funksiyalarbirorintervaldaboshlang’ichfunksiyaga egabo’lib,‚ va„ larixtiyoriyhaqiqiysonlarbo’lsa,uholda‚f + „g funksiyaham o’shaintervaldaboshlang’ichfunksiyagaegabo’lib,
[‚f(x) + „g(x)]dx = ‚ f(x)dx + „ g(x)dx

tenglikbajariladi.
Isbotbevosita4.1.2-Teoremadanvadifferensiallashamaliningchiziqliligidan kelibchiqadi.
2.O’zgaruvchinialmashtiribintegrallash.O’zgaruvchinialmashtiribintegrallash usuli quyidagitasdiqqaasoslanadi.
.2-Tasdiq.Berilgang(t) funksiyaG(t) boshlang’ichfunksiyagaegabo’lsin, ya’ni
g(t)dt = G(t) + C
bo’lsin.
Bundantashqari,’(x)ixtiyoriydifferensiallanuvchifunksiyabo’lib,uningqiymatlari to’plamig funksiyaninganiqlanishsohasigategishlibo’lsin.Uholdaquyidagi
g[’(x)] ’⁰(x) dx = G[’(x)] + C
tenglikbajariladi Isbottenglikningo’ngtarafidaturganfunksiyanibevositadifferensiallash va murakkab funksiya hosilasi haqidagi 4.1.5 - Teoremani qo’llash orqali amalga oshiriladi.
O’zgaruvchini almashtirib integrallash usuli quyidagicha qo’llanadi. Aytaylik,f(x) funksiyauchunboshlang’ichfunksiyatopishtalabqilinsin.Bizbufunksiyani quyidagi
f(x) = g[’(x)] ¢ ’⁰(x)
ko’rinishda yozib olishga erishdik, deb faraz qilaylik. Bunda g va ’ lar -Tasdiqningshartlariniqanoatlantiruvchifunksiyalarbo’lsin.Uholdabiz
f(x) dx = G[’(x)] + C

debyozishimizmumkin.


Agart = ’(x) desak,dt = ’⁰(x)dx bo’ladivashuninguchun, tenglikdan
f(x) dx = g[’(x)] ¢ ’⁰(x) dx = g(t) dt
munosabatkelibchiqadi.
Demak, o’zgaruvchini almashtirib integrallash usuli aniqmas integral ostidagi ifodadax o’zgaruvchio’rnigat = ’(x) funksiyagateskaribo’lgan’^¡1(t) funksiyani,qo’yishdaniboratdeyishmumkin.Shusababli,ushbuusulko’pincha
o’rnigaqo’yish usuli debhamataladi.
Bu usulda ko’zda tutilgan natijaga erishish asosan ’(x) funksiyani qanchalik to’g’ri tanlanishiga bog’liq, chunki bu funksiya tanlangandan keyin g funksiya yagonaravishdaaniqlanadiO’zgaruvchinialmashtirishuchununiversalalgoritm
bo’lmaganisababli,o’rnigaqo’yishusulibilankerakliamaliynatijagaerishishhisoblovchining,mahoratiga,ya’niuningintuitsiyasigavaformulalarnitegishliravishdaalmashtirish bo’yichaegallaganbilimigabog’liqdir.
1-misol. Quyidagi integralni
e^{sin x} cosx dx
hisoblang.
Agart = sinx almashtirishbajarsak,dt = cosx dx bo’ladivashuninguchun,
e^{sin x}cosxdx= e^t dt:
Demak,
e^{sin x} cosx dx =e^t dt = e^t + C = e^{sin x} + C:

2-Misol.Quyidagiintegralni
tg x dx = _cosx dx hisoblang.
Agart = cosx almashtirishbajarsak,dt = ¡sinx dx bo’ladivashuninguchun,




5.2.3-Misol.Quyidagiintegralni Z
(2x + 5)²⁰⁰⁷ dx
hisoblang. Birqarashda,qavsniN’yutonbinomiformulasiyordamidaochib,integralostidagi
ifodani2008tahaddaniboratyig’indiko’rinishdayozibolib,so’ngraboshlang’ich funktsiyanihisoblashkerakdekko’rinadi.Ammo,agarquyidagi

t = 2x + 5; dt = 2dx almashtirishnibajarsak,integralosonhisoblanadi,ya’ni
3.Bo’laklabintegrallash.

3 - Tasdiq.Agar u va v funksiyalar biror intervalda differensiallanuvchi bo’lib, u⁰(x)v(x) ko’paytma shu intervalda boshlang’ich funksiyaga ega bo’lsa, u,holdau(x)v⁰(x)ko’paytmahamshuintervaldaboshlang’ichfunktsiyagaegabo’ladi va
u(x)v⁰(x) dx = u(x)v(x) ¡v(x)u⁰(x) dx
tenglikbajariladi. Isbot.Agarko’paytmahosilasiuchunma’lumbo’lgan
(uv)⁰ = u⁰v + uv⁰ formuladanfoydalansak,
u(x)v⁰(x) = [u(x)v(x)]⁰ ¡ u⁰(x)v(x)
bo’ladi.Bunda,o’ngtarafboshlang’ichfunksiyagaegabo’lganiuchun,chaptaraf hamboshlang’ichfunksiyagaegadir.Shundayekan,butenglikniintegrallab,talab qilinganformulaniolamiz.
Eslatma.tenglikniodatda
u dv = uv ¡v du
ko’rinishdayozishadi. Albatta,bo’laklabintegrallashusulitenglikningo’ngtarafidagiintegral,uningchap
tarafidagiintegraldanosonroqhisoblanganholdaginafoydaberadi.
4-Misol.Quyidagiintegralni
xcosx dx

hisoblang.
Agaru = x; dv = cosx dx desak,du = dx; v = sinx bo’ladivaformula bo’yichabo’laklabintegrallasak,
xcosx dx = xsinx ¡ sinx dx = xsinx + cosx + C

tenglikniolamiz.

5-Misol.Quyidagiintegralni
x² cosx dx
hisoblang.
Agaru = x²; dv = cosx dx desak,du = 2xdx; v = sinx bo’ladivabo’laklab integrallasak,
x² cosx dx = x² sinx ¡ 2 xsinx dx

tenglikniolamiz.
O’ngtarafdagiintegralnihisoblashuchunbizbusafaru = x; dv = sinxdx deb yanabo’laklabintegrallashformulasiniqo’llaymiz.Natijada
xsinx dx = x(¡cosx) ¡ (¡cosx) dx = ¡xcosx + sinx + C

tenglikhosilbo’ladi. Shundayqilib,
x² cosx dx = x² sinx + 2xcosx ¡ 2sinx + C:

Shuni aytish kerakki, yuqoridagi integralni hisoblashda bo’laklab integrallash formulasidanikkimartafoydalanishgato’g’rikeldi.