Kurs ishi mavzu: bоrеl–lеbеg tеоrеmasi. Chеgaralangan оchiq va yopiq to`plamlar. Kantоr to`plamlari ilmiy rahbari: t nishonov Rеja

10 – Teorema. (Kantor). Faraz qilaylik,

chegaralangan, yopiq va bo`sh bo`lmagan to`plamlar ketma – ketligi bo`lsin. Agar bo`lsa, u holda bu to`plamlarning ko`paytmasi bo`sh bo`lmagan yopiq to`plam bo`ladi .
Bu teorema matematik ana lizdagi bir-birining ichiga joylashgan kesmalar haqidagi lemmning umumlashmasidir .
Isbot . to`plamning yopiq ekani 9-teoremadan kelib chiqadi .Agar ning hech bo`lmaganda bitta elementi borligi ko`rsatilsa, teorema isbot etilgan bo`ladi.
Avval (2) ketmaketlikdagi o`zaro teng to`plamlardan bittsini qoldirib ,boshqalarinichiqarib tashlaymiz .buning natijasida to`plam o`zgarmaydi . (2) ketma-ketlikda qolgan to`plamlarni
(3)
Ko`rinishda yozamiz .
Bunda ikki hol bo`lishi mumkin :

1. 
   (3) ket ma-ketlikdagi to`plamlarning soni chekli .
   
2. 
   (3) ket ma-ketlikdagi to`plamlarning soni cheksiz.
   

Birinchi holda to`plam (3) ket ma-ketlikdagi so`ngi to`plamga teng bo`ladi va teoremaning shartiga muvofiq u bo`sh to`plam bo`lmaydi . demak , bu hol uchun teorema isbot bo`ldi .
Ikkinchi holda to`plamdan to`plamga kirmaydigan elementni olamiz , to`plamdan to`plamga kirmaydigan elementni olamiz va hakozo.
(4)
Elementlar keym-ketligi hosil bo`ladi va elementlarning ixtiyoriy ikkitasi bir-biriga teng emas .
(2) ketma-ketlikdagi to`plamlarning har biri chegaralangan bo`lgani uchun (4)ketma-ketlik ham cheksiz va chegaralangan to`plamni tashkil etadi . Bu to`plamni bilan belgilaymiz .Bal`sano-Veyershtrass teoremasiga asosan to`plamning kamida bitta limit nuqtasi bor .Bu limit nuqtalardan biri bo`sin .Shu limit nuqta to`plamning elementi ekanligini ko`rsatamiz .buning uchun nuqta to`plamning har biriga tegishli ekanligini isbotlah kifoya .
munosabatdan
(5)
Ketma-ketlikning barcha elementlari to`plamga kirishi kelib chiqadi .(5) ketma-ketlikning elementlaridan iborat to`plamni bilan belgilaymiz .
va to`plamlarning farqi elementdan iborat bo`lgani uchun nuqta to`plam uchun ham limit nuqta bo`ladi . Demak , nuqta to`plam uchun ham limit nuqta bo`ladi ,chunki .Lekin yopiq to`plam bo`lganligi uchun , ya`ni nuqta (2) ketma-ketlikdan olingan ixtiyoriy to`plamning elementi ekan , demak , nuqta , ko`paytmaning ta`rifiga ko`ra , to`plam uchun xam element bo`ladi .
1-Ta`rif. biror nuqtali to`plam va biror oraliqlar sistemasi bo`lsin . Agar ning har bitta nuqtasi uchun sistemada bu nuqtani o`z ichiga oladigan oraliq mavjud bo`lsa , u holda to`plam oraliqlar sistemasi bilan qoplangan deyiladi; sistema esa nto`plamni qoplovchi sistema deyiladi .