Кванты Скотт Паттерсон Brainiac Кен Дженнингс Moneyball

А Н А Л И З И Р У Й Э Т О !
241
бесконечные ряды) на прочный фундамент раз и навсегда. Они вос-
создали предмет с нуля, выстроив строгую логическую структуру, как 
в Евклидовой геометрии.
Два основных понятия числового ряда — частичные суммы и схо-
димость. Частичная сумма представляет собой нарастающую сумму. Вы 
просто суммируете конечное число членов, а затем останавливаетесь. 
Например, если сложить первые три члена ряда 1– 1 + 1 – 1 + ... полу-
чим 1 – 1 + 1 = 1. Давайте назовем это S
3
. Буква S обозначает «сумму», 
а индекс 3 показывает, что мы сложили только первые три члена. Вот не-
сколько первых частичных сумм для этого ряда
S
1
= 1
S
2
= 1 – 1 = 0
S
3
= 1 – 1 + 1 = 1
S
4
= 1 – 1 + 1 – 1 = 0.
Таким образом, мы видим, что частичные суммы скачут между 0 и 1, 
и при этом не наблюдается никакой тенденции остановиться на 0, 1, 
1
2
или где-нибудь еще. По этой причине современные математики сказали 
бы, что сумма 1 – 1 + 1 – 1 + ... не сходится.
Другими словами, частичные суммы не стремятся ни к какому пре-
дельному значению по мере увеличения числа членов, включенных в них. 
Поэтому сумма этого бесконечного ряда не имеет смысла.
Итак, мы придерживаемся прямой и узконаправленной линии пове-
дения: не тратим впустую время и ограничиваемся анализом только тех 
рядов, которые сходятся. Значит ли это, что мы избежим встреченных 
ранее противоречий?
Пока нет. Кошмар продолжается. И это хорошо, что он существует, по-
тому что напуганные им аналитики XIX века открыли более глубокие тайны 
в самом сердце исчисления, а затем вытащили их на свет. Извлеченные из 
этого уроки оказались бесценными не только для математики, но и для ее 
приложений во всех областях — от музыки до медицинской визуализации.

---

Г Р А Н И Ц Ы В О З М О Ж Н О Г О
242
Рассмотрим ряд, известный в гармоническом анализе как знакочередую-
щийся гармонический ряд :
1 – 1
2
+ 1
3
– 1
4
+ 1
5
– 1
6
+ ...
Вместо одного шага вперед и одного назад здесь шаги становятся 
все короче и короче. Один шаг вперед, но только полшага назад, затем 
треть шага вперед и четверть шага назад и так далее. Обратите внимание 
на следующую закономерность: дроби с нечетным знаменателем имеют 
положительные знаки, а с четным — отрицательные. Частичные суммы 
в данном случае равны:
S
1
= 1
S
2
= 1 – 1
2
= 0,500
S
3
= 1 – 1
2
+ 1
3
= 0,833…
S
4
= 1 – 1
2
+ 1
3
– 1
4
= 0,583…
И если вы рассмотрите достаточно много таких сумм, то обнаружите, 
что они нацеливаются на число, близкое к 0,69. Действительно, можно 
доказать, что этот ряд сходится. Его предельное значение равно нату-
ральному логарифму от 2 (обозначается ln2), приблизительно состав-
ляющему 0,693147.
Так что же здесь кошмарного? На первый взгляд, ничего. Знакочере-
дующийся гармонический ряд походит на паиньку: сходящийся, с хоро-
шим поведением. Ваши родители похвалили бы его.
Именно это и делает его опасным. Это хамелеон, мошенник, скользкий 
тип, который может быть кем угодно. Если переставлять его члены в про-
извольном порядке, вы можете подвести его сумму к любому значению. 
Буквально. Например, 297, 126 или –42π, или 0, или любому другому.
Это выглядит так, будто ряд полон презрения к коммутатив-
ному закону сложения. Просто просуммировав его члены в иной 

---