Кванты Скотт Паттерсон Brainiac Кен Дженнингс Moneyball

И Д Т И Д О П Р Е Д Е Л А
131
нейтрализуется, и их соотношение останется неизменным. Оно и со-
ставляет π.
Конечно, здесь мы не сможем узнать величину π. Простые экспери-
менты с веревкой и блюдом достаточно хороши, чтобы получить значе-
ние около 3 или, если вы хотите более точный результат, 3 1
7
. Но, пред-
положим, надо найти значение π точно или приближенно, но с любой 
желаемой точностью. Что тогда? Эта проблема приводила древних в за-
мешательство.
Прежде чем перейти к блестящему решению Архимеда, я должен упо-
мянуть еще об одном случае, когда π появляется в связи с кругами. Пло-
щадь круга (размер пространства внутри него) вычисляется по формуле
A = πr
2
,
где A — площадь круга, π – греческая буква пи, а r — радиус окружности, 
определяемый как половина диаметра.
Радиус
Все мы помним эту формулу из средней школы, но откуда она взялась? 
На уроках геометрии она обычно не доказывается. Если бы мы делали 
вычисления по ней, то, наверное, смогли бы найти доказательство. Но 
так ли уж необходимы вычисления, чтобы доказать ее?
Да, необходимы.
Задачу осложняет то, что эти фигуры имеют округлую форму. Если 
бы они были прямоугольными, проблемы бы не существовало. Найти 
площади треугольников и прямоугольников легко. А работать с такими 
изогнутыми формами, как круги, — трудно.
С математической точки зрения можно допустить, что изогнутая 
форма состоит из большого числа небольших прямоугольных отрезков. 
Это, конечно, не совсем так, но работает — при условии, что вы доведете 

---

Ф И Г У Р Ы
132
их количество до предела, представив бесконечно много бесконечно ма-
лых частей. Это важнейшая идея всех вычислений.
Вот один из способов определить площадь круга. Начните с разбие-
ния области на четыре равные части и переставьте их таким образом.
r
πr
r
Странная форма с фестонами снизу имеет такую же площадь, как 
и круг, хотя это построение может показаться бесполезным, так как нам 
неизвестна площадь ее сегментов. Но по крайней мере мы знаем две 
важные вещи. Во-первых, две нижние дуги имеют общую длину, равную 
половине длины окружности исходного круга (потому что другая поло-
вина окружности приходится на две дуги сверху). Поскольку длина всей 
окружности в π раз больше диаметра, то ее половина в π раз больше по-
ловины диаметра, то есть радиуса r. Вот почему на рисунке показано, что 
πr — суммарная длина дуг фестонов в нижней части фигуры. Во-вторых, 
прямые стороны кусочков имеют длину r, так как каждая из них перво-
начально была радиусом окружности.
Далее повторим все описанные действия, но на этот раз уже с восе-
мью отрезками круга. 
r
πr

---