Лабораторная работа №0 По дисциплине «Численные методы»

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Рыбинский государственный авиационный технический университет имени П.А.Соловьева»
Кафедра «Высшей математики»
Лабораторная работа № 0
По дисциплине «Численные методы»

Тема: схема Горнера

Вариант № 4
Студент группы: НЭБ-14 Зухуров Н.М.
Преподаватель: Олейникова
Рыбинск 2014
Теория
Теорема 1. Пусть P(x) и Q(x) – многочлены. Тогда существуют многочлены M(x) и R(x) такие, что P(x) = Q(x) M(x) + R(x), причем deg(R) < deg(Q) или Q(x)=0.
(deg(P) – степень многочлена P(x).)

Теорема 2. Для любого многочлена P(x) и любого числа x₀ найдутся многочлен M(x) и число r, такие, что P(x) = (x-x₀) M(x) + r.

Теорема 3.(БЕЗУ) Многочлен P(x) делится на (x-x₀) тогда и только тогда, когда P(x₀) =0.

Схема Горнера.

_{P(x) = an xn+an-1 xn-1 + …+ a0}

	an	an-1	an-2	…	a0
		x0* bn	x0* bn-1		x0* b1
x0	bn = an	bn-1 = an-1+ x0* an	bn-2 = an-2+ x0* bn-1		b0 = a0+ x0* b1

P(x₀) = b_0.
P(x) = (x-x₀) (b_nx^{n- 1}+b_n-1x^n-2 + … + b₁) + b₀.

Теорема 3. Пусть P(x) = a_n xⁿ+a_n-1 x^n-1 + …+ a₀ – многочлен с целыми коэффициентами, – рациональный корень многочлена P(x), p и q взаимно простые целые числа.. Тогда p делит a_{0 ,} q делит a_n.

Задание.

1. 
   Вычислите с помощью схемы Горнера значение многочлена P(x) в точках x₁=0,7, x₂=-1,33, x₃=2,45.
   

2. 
   Разделите с помощью схемы Горнера многочлен P(x) на , где i=1,2,3.
   

3. 
   С помощью схемы Горнера найдите корни заданных многочленов P(x) и Q(x).
   

Примечание: все данные указаны в таблице.

ВАРИАНТЫ

№	P(x)	Q(x)
1			1	-4	2
2			2	-1	3
3			4	-2	5
4			4	-5	2
5			3	-3	4
6			2	-6	4
7			2	-3	1
8			3	-2	2
9			3	-5	2
10			1	-4	3
11			3	-4	2
12			1	-1	3
13			5	-2	5
14			5	-5	2
15			3	-3	4
16			3	-6	4
17			4	-3	1
18			-3	-2	2
19			2	-5	2
20			-1	-4	3

Оформление отчета лабораторной работы должно содержать:

1. 
   Теорию, (смотри выше)
   
2. 
   Задание (смотри выше)
   
3. 
   Выполнение работы.
   

Выполнение лабораторной работы.
Вариант № 0.
P(x) =

1. 
   Вычислим с помощью схемы Горнера значение многочлена P(x) в точках x₁=4, x₂=-5, x₃=2,
   

В Excel вычисляем с помощью схемы Горнера значения P(x) в соответствующих точках.

2. 
   Разделите с помощью схемы Горнера многочлен P(x) на , где i=1,2,3. Пусть в нашем случае 1;-4;3.
   

3. 
   С помощью схемы Горнера найдем корни многочлена Q(x).
   

Q(x)=
Для многочлена корни будем искать среди чисел:
Построим с помощью Excel таблицу, в которой вычисляем по схеме Горнера корни многочлена .

	2	-1	-22	-1	6
6	2	11	44	263	1577
-6	2	-13	56	-337	2028
3	2	5	-7	-22	-60
-3	2	-7	-1	2	0
-3	2	-13	38	-112
2	2	-3	-7	-12
-2	2	-11	21	-40
1	2	-5	-6	-4
-1	2	-9	8	-6
1,5	2	-4	-7	-8,5
-1,5	2	-10	14	-19
0,5	2	-6	-4	0
0,5	2	-5	-6,5
-0,5	2	-7	-0,5

Корнями являются и .

Значит, можно записать в виде:


.
Решим квадратное уравнение и найдем оставшиеся корни:
.