Legendre polinomlari

Legendre polinomlari. Sferik funksiyalar Oddiy elektrostatik masaladan boshlaylik. z = a nuqtada joylashgan q zaryad A nuqtada quyidagi potensial hosil qiladi: φ = 1 4πε0 q r1 . Rasmdan ko’rinib turibdiki, q · a A r r 1 q z I.1-rasm: z- o’qida joylashgan zaryad r1 = √ r 2 + a 2 − 2ra cos θ. Bu formulani masalaning geometriyasidan kelib chiqadigan vektor munosabatdan keltirib chiqarish qiyin emas: r1 = r − a → r 2 1 = = r 2 + a 2 − 2r · a = r 2 + a 2 − 2ra cos θ. Demak, φ(r) = q 4πε0 (r 2 + a 2 − 2ra cos θ) −1/2 = q 4πε0r 1 √ 1 + a 2 r 2 − 2 a r cos θ . ekan. Quyidagini faraz qilib: r ≫ a, olingan ifodani a/r bo’yicha qatorga yoyaylik. Qator koeffisientlari faqat cos θ ning funksiyasi bo’lishi mumkin: φ(r) = q 4πε0r ∑ ∞ n=0 Pn(cos θ) (a r )n . (35) Hosil bo’lgan qatorning koeffisientlari Pn(cos θ) Legendre7 polinomlari deyiladi. Ularni quyidagi hosil qilish funksiyasi orqali ta’riflash qulaydir: g(x, t) = 1 √ 1 − 2xt + t 2 = ∑ ∞ n=0 Pn(x)t n
Rodrigues formulasi Ta’rif (80)-bo’yicha Hn(x) = d n dtn e −t 2+2xt t=0 . Shu formulani qulai ko’rinishga keltirish uchun e −t 2+2xt = e −(t−x) 2+x 2 deb olamiz, unda Hn(x) = d n dtn e −t 2+2xt t=0 = e x 2 d n dtn e −(t−x) 2 t=0 = = e x 2 (−1)n d n dxn e −(t−x) 2 t=0 = (−1)n e x 2 d n dxn e −x 2 (84) formulaga kelamiz. Bu - Hermite polinomlari uchun Rodrigues formulasi.
Differensial tenglama (83)-ni (82)-ga olib borib qo’yamiz va hosil bo’lgan munosabatdan x bo’yicha hosila olamiz: Hn+1(x) = 2xHn(x) − H ′ n (x) ⇒ H ′ n+1(x) = 2Hn(x) + 2xH′ n (x) − H ′′ n (x). Bu tenglikning chap tomonida (83)-ni yana bir marta ishlatsak H ′′ n (x) − 2xH′ n (x) + 2nHn(x) = 0 (85) tenglamaga kelamiz. Bu - Hermite tenglamasi.
Differensial tenglama Legendre polinomlari bo’ysunadigan differensial tenglamani keltirib chiqaraylik. Buning uchun (41)-ning ohirgisidan bir marta hosila olaylik: −2xP′ n (x) + (1 − x 2 )P ′′ n (x) = nP′ n−1 (x) − nPn(x) − nxP′ n (x). (41)-ning birinchisidan foydalanib bu yerdagi P ′ n−1 ni yo’qotishimiz mumkin, natijada quyidagi differensial tenglamaga kelamiz: (1 − x 2 )P ′′ n (x) − 2xP′ n (x) + n(n + 1)Pn(x) = 0. (42) Bu tenglamaning nomi - Legendre tenglamasi. Uni boshqa formada ham yozib olishimiz mumkin: d dx[ (1 − x 2 ) dPn(x) dx ] + n(n + 1)Pn(x) = 0. (43) Agar o’zining kelib chiqishi bo’yicha x = cos θ ekanligini eslasak, Legendre tenglamasi quyidagi formaga keladi: 1 sin θ d dθ ( sin θ dPn(cos θ) dθ ) + n(n + 1)Pn(cos θ) = 0