Лекции по восьми основным разделам курса высшей математики. Именно такой объ¨ем мате матики

≈ x + x
2
+
1
3
x
4
+
1
6
x
5
J

Лекция 60. Тригонометрические ряды
273
Лекция 60. Тригонометрические ряды
Периодическую кусочно
-гладкую функцию лучше описывать не
степенным
, а тригонометрическим рядом.
F
Функция называется периодической кусочно-гладкой функ-
цией, если она определена, непрерывна и дифференцируе-
ма на всей действительной оси за исключением заданных
точек, в которых терпит разрыв первого рода, и удовле-
творяет равенству:
f (x) = f (x + T ) , где T —период.
Пример 1.
Построить график периодической кусочно-глад-
кой функции с периодом равным 2π.
f (x) =
(
π
− x x ∈ (0, 2π) ,
0
x = 0 .
-
6



π


-π
π
y
x
-π


2π
-2π
@
@
@
@
@
@
@
I
@
@
@
@
@
@
@
R
@
@
@
@
@
@
@
I
@
@
@
@
@
@
@
R
B
Вопрос:
Чему равна
эта функция при x = ±2π?
Ответ: По определению
f (0) = 0 и T = 2π,
следовательно
f (
±2π) = 0.
C
Задача
1
Графически отобразить сумму тригонометрического ряда
f (x) =
∞
X
k=0
sin(2k + 1)x
2k + 1
.
I
Вопрос: Каким образом можно решить эту задачу?

274
Теория рядов
Ответ: Построим графики первых тр¨ех слагаемых этого ряда
f (x) =
∞
X
k=0
sin(2k + 1)x
2k + 1
= sin x +
sin 3x
3
+
sin 5x
5
+
· · · .
и сложим их.
Вопрос: Каков период sin 3x?
Ответ: Поскольку sin x = sin (x + 2π), то
sin 3x = sin (3x + 2π) = sin 3(x +
2π
3
) =
⇒ T =
2π
3
6
-
x
y
6
-
x
y
6
-
x
y
−π
π
На первом рисунке представ-
ленна сумма первых двух гар-
моник.
Вопрос: Каков будет ваш сле-
дующий шаг?
Ответ: К полученному графи-
ку следует прибавить график
следующей гармоники.
Вопрос:
Если продолжить
суммирование гармоник, каков
будет окончательный резуль-
тат?
Ответ:
Очевидно, что ре-
зультатом суммирования бу-
дет ступенчатая функция:
f (x) =
π
4





1
x
∈ (0, π),
−1 xin(−π, 0),
0
x = 0.
Величина π/4 следует не из
построения, а из Задачи 4.
J

Лекция 60. Тригонометрические ряды
275
Ряд Фурье
Задача
2
Показать, что если подынтегральная функция и е¨е первообраз-
ная являются периодическими функциями, то определ¨енный ин-
теграл равен нулю, если отрезок интегрирования равен периоду
T .
I
a+T
Z
a
f (x) dx = F (a + T )
− F (a) = 0
J
Задача
3
Определить коэффициенты тригонометрического ряда
f (x) =
a
0
2
+
∞
X
k=1
(a
k
cos kx + b
k
sin kx) ,
если заданная функция f(x) является периодической кусочно–
гладкой функцией с периодом равным 2π.
I
Вопрос: Каким образом будем находить коэффициенты
a
0
, a
k
, b
k
?
Ответ: Интегрируя исходное равенство с различными весовы-
ми функциями: 1, cos mx, sin mx.
1. a
0
=?
π
Z
−π
f (x) dx =
π
Z
−π
a
0
2
dx +
∞
X
k=1


a
k
π
Z
−π
cos kx dx + b
k
π
Z
−π
sin kx dx


.
Согласно Задаче 2 интегралы по периоду от косинусов и синусов
равны нулю. В результате
a
0
=
1
π
π
Z
−π
f (x) dx .

276
Теория рядов
2. a
k
=?
π
Z
−π
f (x) cos mx dx =
π
Z
−π
a
0
2
cos mx dx +
+
∞
X
k=1


a
k
π
Z
−π
cos kx cos mx dx + b
k
π
Z
−π
sin kx cos mx dx


Первый интеграл равен нулю, а для интегрирования двух по-
следних вспомним тригонометрические формулы:
cos mx cos kx =
1
2
(cos (m
− k)x + cos (m + k)x)
cos mx sin kx =
1
2
(sin (m
− k)x + sin (m + k)x)
Очевидно, что интегралы от всех функций равны нулю, исклю-
чая только единственный
1
2
π
Z
−π
cos (m
− k)x dx =
(
π, при m = k,
0, при m
6= k.
В результате
a
k
=
1
π
π
Z
−π
f (x) cos kx dx .
2. b
k
=?
π
Z
−π
f (x) sin mx dx =
π
Z
−π
a
0
2
sin mx dx +
+
∞
X
k=1


a
k
π
Z
−π
cos kx sin mx dx + b
k
π
Z
−π
sin kx sin mx dx


Для вычисления последнего интеграла потребуется ещ¨е одна
тригонометрическая формула

Лекция 60. Тригонометрические ряды
277
sin mx sin kx =
1
2
(cos (m
− k)x − cos (m + k)x)
согласно которой он отличен от нуля только при m = k. Таким
образом
b
k
=
1
π
π
Z
−π
f (x) sin kx dx .
J
F
Тригонометрический ряд с определ¨енными выше коэффи-
циентами называется рядом Фурье.
Задача
4
Разложить в ряд Фурье периодическую кусочно-гладкую функ-
цию, т.е. решить задачу почти обратную к Задаче 2.
f (x) =
π
4







1
x
∈ (0, π),
−1 x ∈ (−π, 0),
0
x = 0.
=
π
4
sign x при x
∈ (−π, π).
I
1. a
0
=
1
π
π
Z
−π
π
4
sign x
| {z }
нечет
dx = 0
2. a
k
=
1
π
π
Z
−π
π
4
sign x cos kx
|
{z
}
нечет
dx = 0
3. b
k
=
1
π
π
Z
−π
π
4
sign x sin kx
|
{z
}
чет
dx =
2
π
π
Z
0
sin kx, dx =
=
−
1
2k
cos kx
π
0
=
−
cos kπ
− 1
2k
=
1
k
если k−неч¨етное.
Ответ: f(x) =
∞
X
k=1
sin(2k
− 1)x
2k
− 1
.
J

278
Теория рядов
Лекция 61. Комплексный ряд Фурье
А в комплексных числах ряд Фурье значительно короче
.
F
Комплексным рядом называют такой числовой или функ-
циональный ряд, членами которого в общем случае явля-
ются комплексные числа.
F
Комплексный ряд сходится, если сходятся как его дейст-
вительная, так и мнимая части.
Задача
1
Преобразовать ряд Фурье к комплексному ряду Фурье для пе-
риодической кусочно-гладкой функции с периодом, равным 2π.
I
Вопрос: Как выглядит ряд Фурье в действительной форме?
Ответ:
f (x) =
a
0
2
+
∞
X
k=1
(a
k
cos kx + b
k
sin kx) , a
0
=
1
π
π
Z
−π
f (x) dx,
a
k
=
1
π
π
Z
−π
f (x) cos kx dx, b
k
=
1
π
π
Z
−π
f (x) sin kx dx.
Вопрос: Как выглядят в комплексной форме синус и косинус?
Ответ: cos ϕ =
e
iϕ
+ e
−iϕ
2
, sin ϕ =
e
iϕ
− e
−iϕ
2i
.
После их подстановки в ряд Фурье он приобрет¨ет вид
f (x) =
a
0
2
+
∞
X
k=1
 
a
k
e
ikx
+ e
−ikx
2
+ b
k
e
ikx
− e
−ikx
2i
!
=
=
a
0
2
+
∞
X
k=1

a
k
− ib
k
2
e
ikx
+
a
k
+ ib
k
2
e
−ikx

.

Лекция 61. Комплексный ряд Фурье
279
Вопрос: Как можно упростить коэффициенты ряда Фурье?
Ответ: Если воспользоваться формулой Эйлера
e
±iϕ
= cos ϕ
± i sin ϕ, то
c
k
=
a
k
− ib
k
2
=
1
2π
π
Z
−π
f (x) (cos kx
− i sin kx) dx =
=
1
2π
π
Z
−π
f (x)e
−ikx
dx.
Очевидно, что
a
k
+ ib
k
2
= c
k
∗
=
1
2π
π
Z
−π
f (x)e
ikx
dx = c
−k
Вопрос: Как можно представить ряд Фурье в виде суммы от
одной функции?
Ответ:
f (x) = c
0
+
∞
X
k=1
c
k
e
ikx
+
∞
X
k=1
c
−k
e
−ikx
=
=
−1
X
k=−∞
c
k
e
ikx
+ c
0
+
∞
X
k=1
c
k
e
ikx
=
∞
X
k=−∞
c
k
e
ikx
Итак,
f (x) =
∞
X
k=−∞
c
k
e
ikx
,
c
k
=
1
2π
π
Z
−π
f (x)e
−ikx
dx.
—
ряд Фурье
в комплексных
числах
J
Задача
2
Показать, что система функций

1
√
2π
e
ikx

на отрезке [−π, π],
где k = 0, ±1, ±2, . . ., является ортогональной и нормированной
на единицу.

280
Теория рядов
F
Система функций {ϕ
k
(x)
} называется ортогональной и нор-
мированной на единицу на отрезке [−π, π], если эти функ-
ции удовлетворяют соотношению
π
Z
−π
ϕ
∗
k
(x)ϕ
m
(x) dx = (ϕ
k
(x), ϕ
m
(x)) =
(
1, k = m,
0, k
6= m.
I
1. Если k = m, то равенство интеграла единице очевидно.
2. Если k
6= m, то согласно Задаче 3 Лекции 60
1
2π
π
Z
−π
e
−i(k−m)x
dx =
1
2π
π
Z
−π
[cos (k
− m)x − i sin (k − m)x] dx = 0
Следовательно,
1
2π
π
Z
−π
e
−i(k−m)x
dx =
(
1, k = m,
0, k
6= m.
J
Задача
3
Определить аргумент тригонометрической функции, период ко-
торой равен T =
2l
k
.
I
Вопрос: Чему равен период cos kx?
Ответ: Поскольку cos x = cos (x + 2π), то
cos kx = cos (kx + 2π) = cos k(x +
2π
k
) =
⇒ T =
2π
k
Вопрос: Чему равен период cos kαx?
Ответ: Очевидно T =
2π
kα
.
Вопрос: При каком α период cos kαx равен T =
2l
k
?
Ответ: T =
2π
kα
=
2l
k
=
⇒ α =
π
l
Ответ: cos
kπx
l
имеет период T =
2l
k
.
J

Лекция 61. Комплексный ряд Фурье
281
Задача
4
Пусть функция f(x) является периодической кусочно-гладкой
функцией с периодом, равным 2l. Разложить е¨е в ряд Фурье.
I
Подобная задача решалась в Задаче 2 Лекции 61, с тем отли-
чием, что T = 2π → T = 2l. Как показано в предыдущей задаче,
тригонометрические функции с периодом
2l
k
должны иметь ар-
гумент
kπx
l
. Тем самым нам оста¨ется записать искомый ряд
Фурье:
f (x) =
a
0
2
+
∞
X
k=1

a
k
cos
kπx
l
+ b
k
sin
kπx
l

, a
0
=
1
l
l
Z
−l
f (x) dx,
a
k
=
1
l
l
Z
−l
f (x) cos
kπx
l
dx, b
k
=
1
l
l
Z
−l
f (x) sin
kπx
l
dx.
J
Задача
5
Пусть функция f(x) является периодической кусочно-гладкой
функцией с периодом равным 2l. Записать ряд Фурье для этой
функции в комплексной форме.
I
Вопрос: Чем будет отличаться искомый ряд от ряда полу-
ченного в Задаче 1?
Ответ: Очевидно, только заменой:
kx
→
kπx
l
, π
→ l.
Следовательно, искомый ряд Фурье равен:
f (x) =
∞
X
k=−∞
c
k
e
i
kπx
l
, c
k
=
1
2l
l
Z
−l
f (x)e
−i
kπx
l
dx.
J

282
Теория рядов
Лекция 62. Интеграл Фурье
Если для периодических функций используют ряд Фурье
, то
для непериодических функций используют интеграл Фурье
.
Задача
1
Пусть функция f(x) — непериодическая, кусочно-гладкая и аб-
солютно интегрируемая функция, т.е.
∞
Z
−∞
|f(x)| dx < ∞.
Представить такую функцию в виде интеграла Фурье, преобра-
зовав соответствующий ряд Фурье.
I
Вопрос: При каком периоде функция перестанет быть пери-
одической?
Ответ: Если период станет равен ∞, т.е. при l → ∞. Таким
образом, если мы запишем ряд Фурье, а затем перейд¨ем к пре-
делу при l → ∞, то мы решим поставленную задачу.
1. Запишем ряд Фурье
f (x) =
a
0
2
+
∞
X
k=1

a
k
cos
kπx
l
+ b
k
sin
kπx
l

, a
0
=
1
l
l
Z
−l
f (t) dt,
a
k
=
1
l
l
Z
−l
f (t) cos
kπt
l
dt, b
k
=
1
l
l
Z
−l
f (t) sin
kπt
l
dt.
2. Подставим все коэффициенты в ряд Фурье
1
2l
l
Z
−l
f (t)dt +
1
l
∞
X
k=1
l
Z
−l

cos
kπt
l
cos
kπx
l
+ sin
kπt
l
sin
kπx
l

f (t)dt =

Лекция 62. Интеграл Фурье
283
= f (x) =
1
2l
l
Z
−l
f (t) dt +
1
l
∞
X
k=1
l
Z
−l
cos
kπ(x
− t)
l
f (t) dt
3. Введ¨ем частоту гармоники ω
k
=
kπ
l
. Тогда сдвиг частот
между соседними гармониками равен ω
k+1
− ω
k
= ∆ω
k
=
π
l
, а
сама функция примет вид
f (x) =
1
2l
l
Z
−l
f (t) dt +
1
π
∞
X
k=1
l
Z
−l
cos ω
k
(x
− t)f(t) dt∆ω
k
4. Перейд¨ем к пределу при l
→ ∞. При этом
ω
k
→ ω, ∆ω
k
→ dω,
lim
l→∞
∞
X
k=1
→
∞
Z
0
Таким образом получим
f (x) = lim
l→∞
1
2l
l
Z
−l
f (t) dt +
1
π
lim
l→∞
∞
X
k=1
l
Z
−l
cos ω
k
(x
− t)f(t) dt∆ω
k
=
=
1
π
∞
Z
0
∞
Z
−∞
cos ω(x
− t)f(t) dωdt.
f (x) =
1
π
∞
Z
0
dω
∞
Z
−∞
cos ω(x
− t)f(t) dt
—
интеграл
Фурье
J
Задача
2
Найти интегралы Фурье для ч¨етных и неч¨етных функций.
I
1. Пусть функция f (x) ч¨етная.
Тогда в соответствующем ряде Фурье b
k
= 0, и получим прямое

284
Теория рядов
и обратное косинус-преобразования Фурье:
F
c
(ω) =
r
2
π
∞
Z
0
f (t) cos ωt dω, f (x) =
r
2
π
∞
Z
0
F
c
(ω) cos ωx dω .
2. Пусть функция f (x) неч¨етная.
Тогда в соответствующем ряде Фурье a
k
= 0, и получим прямое
и обратное синус-преобразования Фурье:
F
s
(ω) =
r
2
π
∞
Z
0
f (t) sin ωt dω, f (x) =
r
2
π
∞
Z
0
F
s
(ω) sin ωx dω .
J
Задача
3
Преобразовать комплексный ряд Фурье в интеграл Фурье.
I
Вопрос: Как вы будете решать эту задачу?
Ответ: Так же, как Задачу 1, с тем отличием, что исходить
будем из ряда Фурье в комплексной форме.
1. f (x) =
∞
X
k=−∞
c
k
e
i
kπx
l
, c
k
=
1
2l
l
Z
−l
f (x)e
−i
kπx
l
dx.
2. f (x) =
∞
X
k=−∞
1
2l
l
Z
−l
f (t)e
i
kπ
(x−t)
l
dt =
1
2π
∞
X
−∞
l
Z
−l
f (t)e
iω
k
(x−t)
dt∆ω
k
3.
lim
l→∞
1
2π
∞
X
−∞
l
Z
−l
f (t)e
iω
k
(x−t)
dt∆ω
k
=
1
2π
∞
Z
−∞
∞
Z
−∞
f (t)e
iω(x−t)
dtdω
• Интеграл Фурье можно записать в виде двух интегралов,

Лекция 62. Интеграл Фурье
285
C(ω) =
1
√
2π
∞
Z
−∞
f (t)e
−iωt
dt, f (x) =
1
√
2π
∞
Z
−∞
C(ω)e
iωx
dω.
при этом первый интеграл называется прямым преобразовани-
ем Фурье или спектральной функцией, а второй — обратным
преобразованием Фурье.
J
Задача
4
Получить спектральную функцию C(ω), если
f (x) =
(
e
−νx+iω
0
x
x
>
0 , (ν > 0)
0
x < 0 .
-
6
Re f (x)
x
I
Вопрос: Какой процесс описывает
заданная функция?
Ответ: Заданная функция описывает
затухающий периодический процесс, что
демонстрирует график Re f(x).
Согласно формуле, полученной в Задаче 3
C(ω) =
1
√
2π
∞
Z
0
e
−νt+i(ω
0
−ω)t
dt =
1
√
2π
e
−νt+i(ω
0
−ω)t
−ν + i(ω
0
− ω)
∞
0
=
=
1
2π(ν
− i(ω
0
− ω))
=
1
√
2π
ν + i(ω
0
− ω)
ν
2
+ (ω
0
− ω)
2
.
6
-
ω
ω
0
Re C(ω)
Реальная часть спектральной функции
Re C(ω) =
1
√
2π
ν
ν
2
+ (ω
0
− ω)
2
определяет вклад гармоник в исход-
ную функцию.
J

Указатель обозначений
I
и
J
начало и конец задачи
B
и
C
начало и конец примера
F
определение понятия
•
замечание
рамка важной формулы
=
⇒
следует
α
⇐⇒ β
из
α следует β и наоборот
−→
стремится
∈
принадлежит
/
∈
не принадлежит
A
∪ B
объединение множеств
A и B
A
∩ B
пересечение множеств
A и B
A
⊂ B
A включено в B
B
⊃ A
B включает в себя A
∀
для всякого
Ø
пустое множество
=
равно
≡
тождественно равно
≈
приближ
¨енно равно
'
эквивалентно
(асимптотически равно)
>
больше или равно
6
меньше или равно
a
скаляр или тензор нулевого ранга
−
→
a или a
i
вектор или тензор первого ранга

Указатель обозначений
287
A или
b
a или a
ij
матрица или тензор второго ранга
(m
× n)
размерность матрицы
 
a
11
a
12
a
21
a
22
!
матрица
(2
× 2)
|
−
→
a
| или a
модуль вектора
det A или ∆
детерминант
(определитель) матрицы A
∆
i
дополнительный определитель
a
11
a
12
a
21
a
22
определитель
2-го порядка
A
−1
обратная матрица
A
T
транспонированная матрица
Λ
диагональная матрица
E или
b
1
единичная матрица
r
A
ранг матрицы
A
R
n
пространство
n-мерное
−
→
i ,
−
→
j ,
−
→
k
декартов базис
n
X
i=1
сумма от единицы до
n

−
→
a ,
−
→
b

=
−
→
a
·
−
→
b
скалярное произведение векторов
пр
~k
−
→
a
проекция вектора
−
→
a на вектор
−
→
k
h
−
→
a ,
−
→
b
i
=
−
→
a
×
−
→
b
векторное произведение векторов
k
знак коллинеарности
⊥
знак перпендикулярности

−
→
c ,
−
→
a
×
−
→
b

смешанное произведение векторов
√
квадратный корень

288
Конспект лекций по высшей математике
n
q
корень
n-ой степени
i
мнимая единица
z = a + ib =
|z|e
iϕ
комплексное число
z
∗
= a
− ib = |z|e
−iϕ
комплексно сопряж
¨енное число
|z| =
√
zz
∗
модуль комплексного числа
{x
n
}
последовательность
∆x
приращени
e аргумента
f (x)
функция одной переменной
F (x, y) = 0
неявно заданная функция
одной переменной
f (x, y)
функция двух переменных
∆f (x
0
)