Лекции по восьми основным разделам курса высшей математики. Именно такой объ¨ем мате матики

n
lim
n→∞
3−
lim
n→∞
6
n
=
5−
10
∞
3−
6
∞
=
5
3
C
Пример 4.
Вычислить предел.
B
lim
n→∞
√
n + 2
−
√
n =
{∞ − ∞} =
= lim
n→∞
n + 2
− n
√
n + 2 +
√
n
=
2
∞
= 0
C
• Вычисление предела — это, как правило, раскрытие неопре-
дел¨енности вида: 0/0, ∞/∞, ∞ · 0, ∞ − ∞, 1
∞
,
∞
0
и т.д.

78
Введение в математический анализ
Определение функции
F
Пусть задано два множества чисел D и G , и пусть по
определ¨енному закону каждому x ∈ D сопоставляется одно
(несколько) y
∈ G , тогда говорят, что на множестве D
определена однозначная (многозначная) функция y = f(x) ,
при этом
D — область определения функции,
x — независимая переменная или аргумент,
y — зависимая переменная или функция,
G — область допустимых значений функции.
-
6
y
x
x
0
x
0
− δ
x
0
+ δ
y
0
y
0
− ε


Функции могут задаваться:
1. графически (см. рис.)
2. аналитически: y = x
2
3. таблично:
x
1
1.2
1.5
2
2.5
y
1
1.44
2.25
4
6.25
Пример 5.
Hайти область определения, т.е. то множество
значений, при которых существует функция y =
√
x
2
− 1.
B
x
2
− 1
>
0,
(x
− 1)(x + 1)
>
0;



x
− 1
6
0;
(x
− 1)
>
0;
x + 1
6
0;
или
(x + 1)
>
0;
⇓
⇓
x
6
−1
x
>
1
−1
1
0
−1
1
0
-
-


Ответ: x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, ∞)
C
• Здесь и далее речь ид¨ет о действительном переменном.

Лекция 16. Непрерывность функции и е¨е разрывы
79
Лекция 16. Непрерывность функции и е¨
е
разрывы
Из этой лекции мы узнаем
, что разрывы функции подразделя-
ют на два рода
, а среди всевозможных пределов два предела
названы замечательными
.
Приращение аргумента и функции
F
Приращением функции называется изменение функции при
заданном приращении аргумента
∆f (x
0
) = f (x
0
+ ∆x)
− f(x
0
) .
-
6
y
x
x
0
x
0
+ ∆x
x
3
x
3
+ ∆x
6
?
-

-

∆x
∆x
6
?
∆f (x
3
)
| {z }
6= ∆f(x
0
)
| {z }
F
Если x
1
= x
0
, а
x
2
= x
0
+ ∆x, то
∆x = x
2
− x
1
—
приращени
e аргумента
f (x
2
)
− f(x
1
) =
f (x
0
+∆x)
−f(x
0
) = ∆f (x
0
)
∆f (x
3
) = f (x
3
+∆x)
−f(x
3
)
• Приращение функции, в
отличие от приращения ар-
гумента, зависит от само-
го аргумента.
Определение непрерывности функции
F
Функция f(x) непрерывна в точке x
0
, если в этой точке
она определена, а е¨е приращение стремится к нулю при
стремлении к нулю приращения аргумента
∆f (x
0
)
→ 0 ,
если ∆x → 0 .

80
Введение в математический анализ
Пример 1.
Исследовать на непрерывность функцию y =
1
x
.
-
6
y
x
B
∆f (x
0
) =
1
x
0
+∆x
−
1
x
0
=
=
−
∆x
x
0
(x
0
+∆x)
∆f (x
0
)
→ 0 при ∆x → 0
кроме точки x
0
= 0.
F
Точку, в которой прираще-
ние функции не стремится к ну-
лю при стремлении к нулю при-
ращения аргумента, называют
точкой разрыва функции.
C
Определение предела функции в точке
F
Число A является пределом функции f(x) в точке x
0
, если
∀ε > 0, найд¨ется такое δ > 0, что ∀x, удовлетворяющего
неравенству 0 < |x − x
0
| < δ, выполняется неравенство
|f(x) − A| < ε и записывают
lim
x→x
0
f (x) = A .
• В точке x
0
функция f(x) может быть не определена.
-
6
y
x
x
0
x
0
−δ
x
0
+δ
A+ε
A
Вопрос: Чему равен предел при-
ращения функции в точке x
0
, ес-
ли в этой точке функция непре-
рывна?
Ответ: Поскольку ∆f(x
0
)
→ 0,
при ∆x → 0, то
lim
x→x
0
∆f (x
0
) = lim
x→x
0
∆y = 0
• Функция непрерывна в точке x
0
, если предел приращения
функции в этой точке равен нулю.

Лекция 16. Непрерывность функции и е¨е разрывы
81
Задача
1
Пусть функция определена и непрерывна в точке x
0
. Найти пре-
дел функции в этой точке.
I
lim
x→x
0
∆y = 0
⇒
lim
x→x
0
(f (x)
− f(x
0
)) = 0
⇒
lim
x→x
0
f (x)
− lim
x→x
0
f (x
0
) = 0
⇒
lim
x→x
0
f (x) = f (x
0
)
J
F
Функция f(x) непрерывна в точке x
0
, если предел функции
в этой точке равен значению функции в этой точке.
Определение предела функции на бесконечности
-
y
x
?
6
ε
M
A
A+ε
6
F
Число A называется пределом
функции f(x) на бесконечности (в
бесконечно удал¨енной точке), ес-
ли ∀ε > 0, найд¨ется такое M > 0,
что при x > M, выполняется не-
равенство |f(x) − A| < ε и запи-
сывают
lim
x→∞
f (x) = A .
Предел функции слева и справа
F
Число A называется пределом функции f(x) в точке x
0
справа (слева), если ∀ε > 0, найд¨ется такое δ > 0, что
при x
0
< x < x
0
+ δ
(x
0
− δ < x < x
0
), выполняется
|f(x) − A| < ε и записывают
lim
x→x
0
+0
(x→x
0
−0)
f (x) = A

82
Введение в математический анализ
-
x
x
0
− δ
x
0
+ δ




x
0

-
• Предел функции в точке x
0
су-
ществует, если предел справа ра-
вен пределу слева.
Разрывы первого и второго рода
Пример 2.
Построить график функции y =
x
|x|
.
-
6
y
x
1
−1
B
Очевидно, что
y =
x
|x|
=
(
−1 при x < 0
1
при x > 0
C
F
Функция f(x) имеет в точке x
0
разрыв первого рода, если
пределы слева и справа конечны, но не равны друг другу.
Пример 3.
Вычислить
lim
x→2±0
e
1
x−
2
.
B
lim
x→2+0
e
1
x−
2
= e
1
2+0−2
= e
1
+0
=
∞,
lim
x→2−0
e
1
x−
2
= e
1
−
0
= 0
C
F
Функция f(x) имеет в точке x
0
разрыв второго рода, если
хотя бы один из пределов слева или справа бесконечен или
не существует.
Пример 4.
Вычислить: lim
x→0
sin
1
x
B
lim
x→0
sin
1
x
=
n
sin
1
0
o
— предел не существует.
C
• Постройте график этой функции.
Первый замечательный предел
lim
x→0
sin x
x
=

0
0

= 1

Лекция 16. Непрерывность функции и е¨е разрывы
83
Задача
2
Следуя рисунку, доказать первый замечательный предел.
y
x
-
6
C
S
S
S
S
S
S
S
S







K
A
x
B
I
Согласно рисунку
AB < BC < BK, где
AB = sin x, BC = x, BK = tg x
sin x < x < tg x : sin x
1 <
x
sin x
<
1
cos x
1 < lim
x→0
x
sin x
< lim
x→0
1
cos x
= 1
⇒
⇒ lim
x→0
x
sin x
= 1
J
Второй замечательный предел
lim
x→±∞

1 +
1
x

x
=

1
±∞
= e = 2.718...
Основные правила вычисления пределов
1. lim
x→x
0
C = C
2. lim
x→x
0
[f (x) + g(x)] = lim
x→x
0
f (x) + lim
x→x
0
g(x)
3. lim
x→x
0
f (x)g(x) = lim
x→x
0
f (x) lim
x→x
0
g(x)
4. lim
x→x
0
f (x)
g(x)
=
lim
x→x
0
f (x)
lim
x→x
0
g(x)
, lim
x→x
0
g(x)
6= 0
5. lim
x→x
0
f [u(x)] = f

lim
x→x
0
u(x)

• Все правила имеют смысл, если пределы функций f(x),
g(x), f [u(x)] и u(x) существуют.

84
Введение в математический анализ
Лекция 17. Бесконечно малые, бесконечно
большие и эквивалентные функции
Одна и та же функция в одной и той же точке может быть и
бесконечно малой
, и бесконечно большой; так же, как муравей
мал относительно слона и велик относительно микроба
.
F
Функции f(x) и g(x) являются эквивалентными в окрест-
ности точки x
0
, если предел их отношения равен единице
lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= 1
или f(x) '
x→x
0
g(x)
F
Функция f(x) является бесконечно малой относительно g(x)
в окрестности точки x
0
, если
lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= 0 или f (x)
'
x→x
0
o(g(x))
F
Функция g(x) является бесконечно большой относительно
f (x) в окрестности точки x
0
, если
lim
x→x
0
g(x)
f (x)
=
∞ или f(x) '
x→x
0
o(g(x))
• Согласно данным определениям
lim
x→x
0
o (g(x))
g(x)
= 0,
lim
x→x
0
g(x)
o(g(x))
=
∞
Задача
1
Определить, какой является функция sin x относительно функ-
ций 1, x, x
2
в окрестности нуля.

Лекция 17. Бесконечно малые и эквивалентные функции
85
I
1. lim
x→0
sin x
1
=
0
1
= 0
⇒ sin x '
x→0
o(1) =
⇒ б.м.
2. lim
x→0
sin x
x
=

0
0

= 1
⇒ sin x '
x→0
x =
⇒ эквив.
3. lim
x→0
sin x
x
2
= lim
x→0
sin x
x
lim
x→0
1
x
=

1
0

=
∞ ⇒
⇒ x
2
'
x→0
o(sin x) =
⇒ б.б.
J
Теорема об эквивалентных функциях
Теорема
Чтобы функция f(x) была эквивалентна функции g(x) в окрест-
ности точки x
0
, необходимо и достаточно выполнения равенства
f (x) = g(x) + o(g(x)) при x
→ x
0
I
1. При доказательстве достаточности исходят из доказыва-
емого равенства:
f (x) = g(x) + o(g(x)) : g(x)
f (x)
g(x)
= 1 +
o(g(x))
g(x)
lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= 1 + lim
x→x
0
o(g(x))
g(x)
= 1
⇒ f(x) '
x→x
0
g(x)
2. При доказательстве необходимости исходят из определения
эквивалентных функций:
lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= 1
lim
x→x
0

f (x)
g(x)
− 1

= 0
⇒
f (x)
g(x)
− 1 =
x→x
0
o(1)
f (x)
− g(x) =
x→x
0
g(x)o(1)
⇒ f(x) =
x→x
0
g(x) + o(g(x))
J

86
Введение в математический анализ
Аппроксимация элементарных функций
простейшими многочленами
• Аппроксимация — приближ¨енное описание.
Задача
2
Найти эквивалентные следующих функций:
sin x,
cos x,
ln (1 + x), exp x, tg x — в окрестности точки нуль, в виде прос-
тейших многочленов (степенью не выше двух).
-
y
x
0
y = x
y = sin x
−δ
δ






BBN
6
I
1.
sin x
'
x→0
?
Согласно Задаче 1
sin x =
x→0
x + o(x)
иначе
sin x
'
x→0
x
• В окрестности точки нуль пря-
мая y = x сливается с кривой
y = sin x.
-
y
x
y = cos x

X
X
y
y = 1
−
x
2
2
0
6
−δ
δ
2.
cos x
'
x→0
?
Очевидно, что lim
x→0
cos x = 1,
т.е. cos x =
x→0
1 + o(1)
Теперь o(1) = ? Попробуем, не
является ли o(1) ' x?
lim
x→0
cos x
− 1
x
=

0
0

=
= lim
x→0
−2(sin x/2)
2
x
=
−lim
x→0
2(x/2)
2
x
= 0 =
⇒ o(1) 6' x
Легко убедиться, что lim
x→0
cos x
− 1
−x
2
/2
= 1, т.е.
o(1) = cos x
− 1 '
x→0
−x
2
/2
=
⇒
cos x
'
x→0
1
− x
2
/2

Лекция 17. Бесконечно малые и эквивалентные функции
87
-
6
y
x
−1
y = ln (1 + x)
y = x
0
AAU
B
BM
3.
ln (1 + x)
'
x→0
?
lim
x→0
ln (1 + x)
x
=

0
0

=
= lim
x→0
ln (1 + x)
1/x
=
= ln lim
x→0
(1 + x)
1/x
= ln e = 1
Следовательно ln (1 + x) '
x→0
x
-
6
y
x
−1
y = 1 + x
0
BBM
y = e
x
S
S
w
4.
e
x
'
x→0
?
Поскольку lim
x→0
e
x
= 1, то
e
x
'
x→0
1 + o(1)
o(1) = ?
lim
x→0
e
x
− 1
x
=
(
y = e
x
− 1
x = ln (1 + y)
)
=
= lim
x→0
y
ln (1 + y)
= lim
x→0
y
y
= 1
При вычислении последнего предела был использован результат
пункта 3. Таким образом e
x
− 1 '
x→0
x или
e
x
'
x→0
1 + x
-
y
x
y = x
0
y = tg x
6
CCO
P
P
i
5.
tg x
'
x→0
?
Поскольку lim
x→0
tg x = 0, то
tg x
'
x→0
o(1)
o(1) = ? Так как
lim
x→0
tg x
x
= lim
x→0
sin x
x
1
cos x
= 1, то
tg x
'
x→0
x
J
• Рисунки наглядно показывают, что заданные функции и их
эквивалентные в окрестности точки нуль почти не различимы.
• Вычисление пределов можно проводить пут¨ем замены под зна-
ком предела заданных функций на их эквивалентные.

“Нам нужна способность, которая позволяла бы видеть цель
издали, а эта способность есть интуиция.”
Анри Пуанкаре
Раздел
3
Дифференциальное
исчисление
Лекция 18. Пpоизводная, е¨
е
геометpический и механический смысл
Важнейшим понятием математического анализа является
п
pоизводная, котоpая опpеделяет скоpость изменения функ-
ции
.
F
Пpоизводной функции f(x) в точке x
0
называется пpедел
отношения пpиpащения функции к пpиpащению аpгумен-
та пpи стpемлении последнего к нулю
lim
∆x→0
f (x
0
+ ∆x)
− f(x
0
)
∆x
= lim
∆x→0
∆f (x
0
)
∆x
= f
0
(x
0
) .
Пример 1.
Вычислить производную функции f(x) = x
2
в
точке x = 5.

Лекция 18. Пpоизводная и е¨е смысл
89
B
∆f (5) = f (5 + ∆x)
− f(5) = 10∆x + ∆x
2
,
f
0
(5) = lim
∆x→0
10∆x + ∆x
2
∆x
=

0
0

=
= lim
∆x→0
∆x(10 + ∆x)
∆x
= lim
∆x→0
(10 + ∆x) = 10.
C
Производная справа и слева
F
Правой (левой) пpоизводной функции f(x) в точке x
0
на-
зывается пpедел справа (слева) отношения пpиpащения
функции к пpиpащению аpгумента пpи стpемлении по-
следнего к нулю
lim
x→x
0
±0
f (x)
− f(x
0
)
x
− x
0
=
lim
∆x→±0
∆f (x
0
± 0)
∆x
= f
0
(x
0
± 0) .
Пример 2.
Вычислить производную функции f(x) = |x−1|
в точке x = 1.
-
x
1
6
y
B
|x−1| =
(
x
− 1,
при x
>
1
−x + 1, при x < 1
f
0
(1 + 0) = lim
x→1+0
x
− 1
x
− 1
= 1,
f
0
(1
− 0) = lim
x→1−0
−x + 1
x
− 1
=
−1.
f
0
(1 + 0)
6= f
0
(1
− 0) =⇒ f
0
(1) — не существует
C
Геометрический смысл производной
Задача
1
Получить уравнение касательной.
F
Касательной называется предельное положение секущей
при стремлении второй точки секущей к первой.

90
Дифференциальное исчисление
-
6
x
y




x
1
x
0
f (x
0
)
f (x
1
)
α
α+π/2
I
Запишем уравнение секущей
y
−f(x
0
) =
f (x
1
)
− f(x
0
)
x
1
− x
0
(x
−x
0
)
и устpемим вторую точку секу-
щей к первой, тогда поскольку
lim
x
1
→x
0
f (x
1
)
− f(x
0
)
x
1
− x
0
= f
0
(x
0
),
то вычисление предела да¨ет
y
− f(x
0
) = f
0
(x
0
)(x
− x
0
)
—
у
pавнение
касательной
где угловой коэффициент касательной k
к ас
= tg α = f
0
(x
0
)
J
F
Пpоизводная функции pавна тангенсу угла наклона каса-
тельной к гpафику функции.
Задача
2
Получить уравнение ноpмали.
F
Hоpмалью называется прямая, пpоходящая чеpез точку ка-
сания пеpпендикуляpно касательной.
I
y
− f(x
0
) = k
но
pм
(x
− x
0
),
где
k
но
pм
= tg (α + π/2) =
− ctg α = −
1
tg α
=
−
1
f
0
(x
0
)
.
y
− f(x
0
) =
−
1
f
0
(x
0
)
(x
− x
0
) —
у
pавнение
но
pмали
J
Пример 3.
Hайти уравнения касательной и ноpмали для
функции f(x) = x
2
в точке x = 5.
B
f
0
(5) = 10, f (5) = 25, и очевидно
y
к ас
− 25 = 10(x − 5), y
но
pм
− 25 = −0.1(x − 5)
C

Лекция 18. Пpоизводная и е¨е смысл
91
Задача
3
Показать, что если производная положительна, то функция воз-
растает, а если отрицательна, то убывает.
F
Функция f(x) возрастает (убывает) на интервале (a, b),
если ∀x
0
∈ (a, b) выполняется:
∆f (x
0
) > 0 (∆f (x
0
) < 0) при ∆x > 0.
6
x
y
x
0
f (x
0
)




6
?
-

∆x
∆f (x
0
)
-
I
Пусть f
0
(x
0
) > ε > 0, тогда
из определения производной как
предела следует
f
0
(x
0
)
− ε <
∆f (x
0
)
∆x
< f
0
(x
0
) + ε,
откуда
∆f (x
0
) > 0 при ∆x > 0.
J
Механический смысл производной
Задача
4
Известно, что траекторией брошенного камня является парабо-
ла. Найти его скорость и ускорение.
-
6
x, t
y
t
1
h
1
I
Поскольку горизонтальное дви-
жение равномерное, то вертикаль-
ная координата равна:
h(t) =
−
g
2
(t
− t
1
)
2
+ h
1
,
тогда
h
0
(t) =
−g(t − t
1
)
— скорость
h
00
(t) =
−g
— ускорение
J
• Вычисление производной позволило нам “получить” извест-
ный физический закон, что всякое брошенное тело испытывает
постоянное ускорение свободного падения.

92
Дифференциальное исчисление
Основные правила дифференцирования
F
Функция f(x) называется дифференцируемой в точке x
0
,
если она имеет производную в этой точке.
Вопрос: Является ли непрерывной дифференцируемая функция?
Ответ: Да, поскольку для существования предела, определяю-
щего производную, необходимо ∆f(x
0
)
→ 0 при ∆x → 0.
Задача
5
Показать, что производные суммы, произведения и частного двух
дифференцируемых функций определяются следующими фор-
мулами:
1. (u + v)
0
= u
0
+ v
0
2. (uv)
0
= u
0
v + v
0
u
3. (u/v)
0
= (u
0
v
− v
0
u)/v
2
I
1.
(u + v)
0
= lim
∆x→0
∆(u + v)
∆x
= lim
∆x→0
∆u + ∆v
∆x
= u
0
+ v
0
2.