Лекция №20. Частные производные и дифференциал функции многих переменных. Приближенные вычисления. План

Полный дифференциал первого порядка
Полным приращением функции в точке называется разность

где – приращения аргументов.
Функция называется дифференцируемой в точке если полное приращение функции в этой точке можно представить в следующем виде
(3)
где А, В – некоторые числа; – бесконечно малые при
Если функция дифференцируема в точке М₀, то в формуле (3)

Главная часть полного приращения (формула (3)) дифференцируемой функции называется дифференциалом этой функции и обозначается dz:
(4)
Для независимых переменных х и у дифференциалы совпадают с их приращениями:
Дифференциал функции двух переменных вычисляется по формуле
(5)
Дифференциал функции трех переменных вычисляется по формуле
(6)
Пример 2 Найти dz функции
Решение. Используя формулу (5), найдем частные производные:

Тогда



Пример 3 Найти функции
Решение. Используя формулу (6), вычислим частные производные:

Тогда

Подставим
Получим:



Приближенные вычисления
При достаточно малых и для функции , дифференцируемой в точке и ее окрестности, имеет место приближенное равенство
(7)
Для функции трех переменных (в случае дифференцируемости в точке М₀ и малых приращениях независимых переменных) справедливо:
(8)


Пример 4. Вычислить приближенно
Решение. Используем формулу (7). Рассмотрим функцию и найдем ее значение при
Вычислим значения частных производных функции f в точке (0; 1).


Приращения аргументов Тогда по формуле (7) имеем: