Лекция 29. Числовые ряды. Сумма ряда и сходимость рядов. Некоторые теоремы. Необходимое условие сходимости рядов

29.2. Необходимый признак сходимости ряда 

---

Нахождение n-й частичной суммы
и ее предела для произвольного ряда во многих случаях 
является непростой задачей. Поэтому для выяснения сходимости ряда устанавливают 
специальные признаки сходимости. Первым из них является необходимый признак сходимости. 
Если ряд сходится, то предел его общего члена  
 при    равен нулю, т.е. 
 
 
 
Рассмотренная теорема выражает лишь необходимый, но недостаточный признак сходимости 
ряда. Если предел общего члена при   равен нулю, то из этого не следует, что ряд сходится. 
Следствием является достаточное условие расходимости ряда. Если
 
 
 
или этот предел не существует, то ряд расходится. 
Рассмотрим пример. Выяснить вопрос о сходимости или расходимости ряда 
∑
 
Предел общего члена ряда
 
т.е. необходимый признак сходимости не выполняется, следовательно, ряд расходится.
 
29.3. Достаточные признаки сходимости ряда 
Сходимость и расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью 
достаточных признаков сходимости ряда.
Рассмотрим эталонные ряды, которые часто используются при исследовании сходимости 
многих рядов.
Исследуем сходимость гармонического ряда
 
∑
 
 
 
Гармонический ряд – это ряд, каждый член которого, начиная со второго, является средним 
гармоническим его соседних членов
(
)
Его частичная сумма
 
Пусть
тогда
(
) (
)
(
)
Таким образом,

---

Последовательность ( 
) не ограничена сверху, а потому не может быть сходящейся, так как 
сходящаяся последовательность ограничена. Следовательно, ряд
∑
 
расходится.
Гармонический ряд расходится очень «медленно». Л. Эйлер, например, вычислил, что
 
 
(Леонард Эйлер (1707-1783) – математик, физик, механик; родился в Швейцарии, большую часть 
жизни прожил в России и в Германии, активно участвовал во многих направлениях деятельности 
Петербургской и Берлинской академий.) 
Рассмотрим пример. Ряд
∑
( )
 
называется обобщенно гармоническим. При это гармонический ряд, и его расходимость 
доказана. Покажем, что этот ряд расходится и при
Здесь
при любом Следовательно 
 
 
и поэтому при данный ряд расходится. Итак, обобщенный гармонический ряд расходится 
при   
При  этот ряд сходится.
Рассмотрим пример. Исследуем на сходимость ряд
∑
 
где действительное число | |
Преобразуем частичную сумму
этого ряда следующим образом
(
) ( 
)
( 
)
(
)
(
)
(
)
( )
(
(
)
)

---

Отсюда
 
( )
Следовательно, ряд
∑
 
сходится и его сумма равна
( )
В частности, если
то
∑
 
Признаки сравнения рядов. 
Первый признак сравнения рядов. Пусть даны два ряда с положительными членами 
∑
 
( ) ∑
 
( )
причем члены первого ряда не превосходят членов второго ряда, т.е. при любом
Тогда, если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1); если расходится ряд (1), то расходится и 
ряд (2).