Лекция курсы (32 саат) 5410700- «жер дүзетиў ҲƏм жер кадастры»

İrratsional funktsiyalardı integrallaw

Ko‘pshilik jag’daylarda irratsional ha’m trigonometriyalıq funktsiyalardı

integrallaw o‘zgeriwshilerdi almastırıw menen ratsional funktsiyalardı

integrallawg’a keltiriledi.

I. Meyli

( )

f x

 funktsiya

x

 ha’m onın’ ha’r qıylı bo’lshek da’rejeleri

u’stinde arifmetikalıq a’meller orınlanıwınan payda bolsın. Ma’selen,

( )

1/ 2

1/ 3

1

f x

x

x

=

+

,

( )

3

1

x

f x

x

=

+

,

( )

5

1

x

f x

x

=

+

.

Bunday funktsiyalardı integrallaw

x

t

a

=

almastırıwı menen ratsional funktsiyalardı integrallawg’a keltiriledi, bunda

a

 sanı

( )

f x

 an’latpadag’ı

x

 tın’ da’rejelerinde qatnasqan bo’lshekler  bo’limlerinin’ en’

kishi ulıwma eseligi.

Mısallar 1.

(

)

3

1

dx

x

x

+

ò

 integraldı esaplan’.

Sheshiliwi. Integral astındag’ı funktsiya

(

)

1

1

3

3

2

1

1

1

1

x

x

x

x

=

æ

ö

+

+

×

ç

÷

è

ø

an’latpasındag’ı

x

 tın’ da’rejeleri

1

2

 ha’m

1

3

 bolıp, bul bo’lshek bo’limleri 2 ha’m

3  lerdin’  en’  kishi  ulıwma  eseligi  6  g’a  ten’.  Usı  sebepli

6

x

t

=

  almastırıwın

alamız. Onda

5

6

dx

t dt

=

 bolıp

(

)

(

)

(

)

5

5

2

3

2

3

3

6

6

1

1

1

dx

t dt

t dt

t

t

t

t

x

x

=

=

=

+

+

+

ò

ò

ò

(

)

2

2

2

2

2

2

1

6

6

6

6

arctg

1

1

1

t dt

t

t dt

dt

dt

t

t

C

t

t

t

+ -

æ

ö

= = =

- =

-

+ =

ç

÷

+

+

+

è

ø

ò

ò

ò

ò

(

)

6

6

6

arctg

x

x

C

=

-

+

.

57

2.

(

)

(

)

2

3

1

x

dx

x

x

x

-

+

ò

 integraldı esaplan’.

Sheshiliwi. Bul integralda

6

x

t

=

 almastırıwın alamız. Onda

3

2

4

5

3

,

,

6

x

t

x

t

dx

t dt

=

=

=

bolıp,

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

6

5

6

5

4

3

2

4

4

3

4

6

2

3

6

1

1

1

1

6

6

1

t

t dt

x

dx

t

t

t

t

t

t

dt

dt

t

t

t

t

t

t

x

x

x

-

-

-

- + - + -

=

=

=

=

+

+

+

ò

ò

ò

ò

2

2

3

1

1

1

6

ln

2

2

3

t

t

t

C

t

t

t

æ

ö

=

- +

+ -

+

+ =

ç

÷

è

ø

3

6

6

6

3

1

1

1

6

ln

2

2

3

x

x

x

C

x

x

x

æ

ö

=

-

+

+

-

+

+

ç

÷

è

ø

.

II. Meyli

( )

f x

 funktsiya

x

 ha’m

ax

b

+

  eki  ag’zalının’  (

,

a b

  –  turaqlı

sanlar) ha’r qıylı bo’lshek da’rejeleri u’stinde arifmetikalıq a’meller orınlanıwınan

payda bolsın.

Ma’selen,

( )

1

1

f x

x x

=

+

,

( )

1

1

1

1

x

f x

x

-

+

=

+

+

,

( )

3

2

5

1

2

5

x

f x

x

-

=

+

-

.

Bunday funktsiyalardı integrallaw

ax

b

t

a

- =

Almastırıwı menen ratsional funktsiyalardı integrallawg’a keledi, bunda

a

 san

( )

f x

 an’latpasındag’ı

ax

b

+

 lardın’ da’rejelerinde qatnasqan bo’lshekler

bo’limlerinin’ en’ kishi ulıwma eseligi.

Mısal.

(

)

3

3

1 1

3

1

dx

x

x

+ -

+

ò

 integraldı esaplan’.

Sheshiliwi. Bul integralda

6

3

1

x

t

+ =

almastırıwın orınlaymız. Onda

58

5

2

3

3

1

6

,

3

1

,

3

1

3

dx

t dt

x

t

x

t

= ×

+ =

+ =

bolıp,

(

)

(

)

5

2

3

3

2

1

3

1 1

3

1

dx

t dt

t

t

x

x

=

-

+ -

+

ò

ò

boladı. Keyingi integraldı esaplaymız:

(

)

5

2

2

2

2

3

1 1

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

t dt

t

dt

dt

dt

t

dt

t

t

t

t

t

t

- +

æ

ö

=

=

+

= -

-

=

ç

÷

-

-

+

-

-

è

ø

ò

ò

ò

ò

ò

(

)

(

)

1

1

1

1

1

ln

2

1

1

2

1

d t

d t

t

t

t

C

t

t

t

+

-

æ

ö

+

= -

- =

-

+

ç

÷

+

-

-

è

ø

ò

ò

.

Na’tiyjede

(

)

6

6

6

3

1

3

1 1

2

3

1

ln

2

3

1 1

3

1 1

3

1

dx

x

x

C

x

x

x

æ

ö

+ +

=

+ -

+

ç

÷

ç

÷

+ -

+ -

+

è

ø

ò

boladı.

III. Meyli

( )

f x

 funktsiya

x

 ha’m

ax

b

cx

d

+

+

   (

, , ,

a b c d

 – sanlar,

ad

bc

¹

)

nın’ ha’r qıylı bo’lshek da’rejeleri  u’stinde arifmetikalıq a’meller orınlanıwınan

payda bolsın. Ma’selen,

( )

1 1

x

f x

x

x

+

=

,

( )

(

) (

)

3

2

2

3

2

3

x

x

f x

x

x

+

-

=

+

-

,

( )

1

1

1

1

x

f x

x

x

+

=

-

-

 .

Bunday funktsiyalardı integrallaw

ax

b

t

cx

d

a

+

=

+

almastırıwı menen ratsional funktsiyalardı integrallawg’a keledi, bunda

a

 sanı

( )

f x

 an’latpasındag’ı

ax

b

cx

d

+

+

 lardın’ da’rejelerinde qatnasqan bo’lshekler

bo’limlerinin’ en’ kishi ulıwma eseligi.

59

Mısallar 1.

1 1 x

dx

x

x

+

ò

 integraldı esaplan’.

Sheshiliwi. Bul integralda

2

1

x

t

x

+

=

almastırıwın orınlaymız. Onda

2

2

1

2

,

1

1

t

x

dx

dt

t

t

= =

-

-

-

bolıp

(

)

2

2

1 1

2

1

1

x

t

dx

t

t

dt

x

x

t

+

-

=

- × ×

-

ò

ò

boladı. Keyingi integraldı esaplaymız:

(

)

2

2

2

2

2

2

2

2

1 1

1

2

2

2

1

1

1

1

t

t

t

dt

t

t

dt

dt

dt

t

t

t

t

t

-

- +

æ

ö

- × × =

- =

- =

-

+ =

ç

÷

-

-

-

-

è

ø

ò

ò

ò

ò

1

1

2

ln

2

1

t

t

C

t

æ

- ö

= -

-

+

ç

÷

+

è

ø

.

Natijada

2

1 1

1

1

2

ln

1

x

x

x

dx

x

C

x

x

x

x

æ

ö

+

+

+

= -

-

-

+

ç

÷

è

ø

ò

boladı.

2.

1

1

1

x

dx

x

x

+

×

-

-

ò

 integraldı esaplan’.

Sheshiliwi. Bul integralda

1

1

x

t

x

+

=

-

almastırıwın orınlaymız. Onda

(

)

2

2

2

2

1

4

,

1

1

t

t

x

dx

dt

t

t

-

=

=

+

+

bolıp,

60

2

2

1

2

1

1

1

x

dx

t dt

x

x

t

+

×

=

-

-

+

ò

ò

boladı. Bizde

2

2

arctg

1

t dt

t

t

C

t

= -

+

+

ò

bolg’anlıqtan,

1

1

1

2

arctg

1

1

1

1

x

dx

x

x

C

x

x

x

x

æ

ö

+

+

+

×

= -

+

ç

÷

-

-

-

-

è

ø

ò

.

IV. Meyli

( )

f x

 funktsiya

x

 ha’m

2

ax

bx

c

+

+

  (

, ,

a b c

  –  turaqlı  sanlar)

u’stinde arifmetikalıq a’meller orınlanıwınan payda bolsın.

Ma’selen,

( )

2

1

6

5

f x

x

x

=

+

+

,

( )

2

2

1 1

1

x

x

f x

x x

x

+ + -

=

+ +

,

( )

(

)

2

2

2

1

4

x

f x

x

x

=

+

+

.

Bunday funktsiyalardı integrallawda:

a)

0

a

>

 bolg’anda

2

ax

bx

c

x a

t

+

+ -

=

almastırıwı menen,

b)

0

c

>

 bolg’anda

2

ax

bx

c

xt

c

+

+ = +

almastırıwı menen,

s)

2

ax

bx

c

+

+

 kvadrat u’shag’zalısı haqıyqıy

a

 ha’m

b

 korenlerge iye

bolg’anda

(

)

2

ax

bx

c

t x

a

+

+

= -

almastırıw menen ratsional funktsiyalardı integrallawg’a keltiriledi.

Mısallar 1.

2

6

5

dx

x

x

+

+

ò

 integraldı esaplan’.

Sheshiliwi. Bul integralda

2

6

5

x

x

x

t

+

+ - =

61

almastırıwın orınlaymız (sebebi,

1 0

a

= >

).

Onda

2

2

6

5

,

6

5

x

x

x

t

x

x

x

t

+

+ - =

+

+ = +

,

2

2

2

6

5

2

x

x

x

xt

t

+

+

= +

+

,

(

)

2

6

2

5

t x

t

- =

-

,

2

5

6

2

t

x

t

-

=

-

,

(

)

2

2

2

2

2

5

6

5

6

5

2

,

6

5

6

2

6

2

6

2

t

t

t

t

t

dx

dt

dt

x

x

t

t

t

¢

æ

ö

-

- + -

- + -

=

× =

+

+ =

ç

÷

-

-

-

è

ø

bolıp,

(

)

2

2

2

2

6

2

6

5

2

2

6

5

6

2

6

2

6

5

dx

t

t

t

dt

dt

t

t

t

t

x

x

-

- + -

=

×

=

=

- + -

-

-

+

+

ò

ò

ò

(

)

3

ln 3

3

d

t

t

C

t

-

= - =

-

- +

-

ò

boladı.

Demek,

2

2

ln 3

6

5

6

5

dx

x

x

x

C

x

x

= -

+ -

+

+ +

+

+

ò

.

2.

2

3

4

dx

x

x

- -

+

ò

 integraldı esaplan’.

Sheshiliwi. Bul integralda

2

3

4

2

x

x

xt

- -

+ = +

almastırıwın orınlaymız (sebebi,

4

0

c

= >

).

Onda

2

2

2 2

3

4

2,

3

4

4

4

x

x

xt

x

x

x t

xt

- -

+

= +

-

-

+

=

+

+

,

2

2

4

3

3

4 ,

1

t

x

xt

t

x

t

+

- - =

+ =

-

+

,

62

(

)

2

2

2

2

2

2

2

3

2

2

3

2

2

,

3

4

1

1

t

t

t

t

dx

dt

x

x

t

t

+ -

+ -

=

- -

+ = -

+

+

bolıp,

(

)

2

2

2

2

2

2

1

2

3

2

2

2

3

2

3

4

1

dx

t

t

t

dt

t

t

x

x

t

æ

ö

+

+ -

=

-

×

=

ç

÷

+ -

- -

+

è

ø

+

ò

ò

2

2

3

4

2

2

2arctg

2arctg

1

dt

x

x

t

C

C

t

x

- -

+ -

= - =

-

+ = -

+

+

ò

boladı.