Лекция курсы (32 саат) 5410700- «жер дүзетиў ҲƏм жер кадастры»

Anıq emes integraldın’ tiykarg’ı qa’siyetleri:

1.

( )

(

)

( )

f x dx

f x

¢ =

ò

.

2.

( )

(

)

( )

d

f x dx

f x dx

=

ò

.

3.

( )

( )

( )

( )

f x

g x

dx

f x dx

g x dx

±

=

±

é

ù

ë

û

ò

ò

ò

.

4.

( )

( )

kf x dx

k f x dx

=

ò

ò

.

Tiykarg’ı formulaları

1.

1

dx

dx

x

C

=

× =

+

ò

ò

,  bunda

C

= const.

2.

(

)

1

1

1

n

n

x

x dx

C n

n

+

=

+

¹ -

+

ò

.

3.

ln

dx

x

C

x

=

+

ò

.

4.

(

)

0,

1

ln

x

x

a

a dx

C a

a

a

=

+

>

¹

ò

.

37

5.

x

x

e dx

e

C

=

+

ò

.

6.

sin

cos

xdx

x

C

= -

+

ò

.

7.

cos

sin

xdx

x

C

=

+

ò

.

8.

2

arcsin

1

dx

x

C

x

=

+

-

ò

.

9.

2

 arctg

1

dx

x

C

x

=

+

+

ò

.

10.

2

sin

dx

ctg x

C

x

= -

+

ò

.

11.

2

cos

dx

tg x

C

x

=

+

ò

.

12.

sh

ch

xdx

x

C

=

+

ò

.

13.

ch

sh

xdx

x

C

=

+

ò

.

14.

2

2

1

arctg

dx

x

C

x

a

a

a

=

+

+

ò

.

15.

2

2

arcsin

dx

x

C

a

a

x

=

+

-

ò

.

16.

2

2

1

ln

2

dx

a

x

C

a

x

a

a

x

+

=

+

-

-

ò

.

17.

2

2

2

2

ln

.

dx

x

x

a

C

x

a

=

+

±

+

±

ò

Tabılg’an integraldın’ durıslılıg’ı tuwındı alıw jolı menen tekseriledi.

Endi to’mende integrallawdın’ a’piwayı usılların keltiremiz:

a) İntegral astındag’ı funktsiyanı a’piwayı funktsiyalardın’ qosındısı ko’rinisinde

jazıp, integraldın’ qa’siyetlerinen paydalanıw usılı;

b) Differentsial belgisi astına kiritiw usılı. Ma’selen,

1

(

),

dx

d kx

b

k

=

+

 (k, b =const);

(ln )

dx

d

x

x

=

;

cos

(sin )

xdx

d

x

=

;

38

2

(

)

cos

dx

d tgx

x

=

, h.t.b.

Mısallar. To’mendegi anıq emes integrallardı esaplan’:

1.

7

6

7

x

x dx

C

=

+

ò

.

2.

3

3

3

1

1

(3 )

3

3

x

x

x

e dx

e d

x

e

C

=

=

+

ò

ò

.

3.

(

)

7

5

7

5

10

2

7

10

2

7

x

x

dx

x dx

x dx

dx

+

-

=

+

-

=

ò

ò

ò

ò

7

5

10

2

7

x dx

x dx

dx

=

+

-

ò

ò

ò

8

6

8

6

5

1

10

2

7

7

8

6

4

3

x

x

x

C

x

x

x

C

=

×

+ ×

-

+

=

+

-

+ .

4.

4

3

4

3

5

5

5

5

5

1

1

x

x

x

x

x

x

dx

dx

x

x

x

x

x

æ

ö

-

+ +

=

-

+

+

=

ç

÷

è

ø

ò

ò

2

4

5

2

4

5

1

1

1

1

1

dx

dx

x dx

x dx

x dx

x

x

x

x

x

-

-

-

æ

ö

=

-

+

+

=

-

+

+

=

ç

÷

è

ø

ò

ò

ò

ò

ò

2 1

4 1

5 1

3

4

1

1

1

ln

ln

2 1

4 1

5 1

3

4

x

x

x

x

C

x

C

x

x

x

- +

- +

- +

=

-

+

+

+

= + -

-

+

- +

- +

- +

.

5.

1

1 1

1

1

1

2

1

2

1

1 1

n

n

n

n

n

x

n

x xdx

x x dx

x

dx

C

x

x

C

n

n

+ +

+

=

×

=

=

+

= +

+

+ +

ò

ò

ò

.

Integrallaw usılları

 

1. O‘zgeriwshini almastırıp integrallaw usılı

 

Bul usıl to’mendegishe a’melge asırıladı:

( )

x

t

j

=

 dep alayıq, bunda

( )

t

j

 funktsiya u’zliksiz

( )

t

j¢

 tuwındıg’a iye. Onda

o’zgeriwshini almastırıw formulası to’mendegishe boladı:

( )

( )

(

)

( )

f x dx

f

t

t dt

j

j

¢

=

×

ò

ò

  Mısallar 

1.

(

)

100

2

3x

dx

+

ò

 integraldı esaplan’.

 Sheshiliwi. Bunın’ ushın

2 3x

t

+

=

 almashtırıwın orınlaymız. Onda

39

2

1

,

3

3

t

x

dx

dt

-

=

=

bolıp,

(

)

(

)

101

100

101

100

100

1

1

1

1

2

3

2

3

3

3

3 101

303

t

x

dx

t

dt

t

dt

C

x

C

+

=

×

=

=

×

+

=

+

+

ò

ò

ò

boladı.

 2.

(

)

2

0

dx

a

a

x

>

-

ò

 integraldı esaplan’.

 Sheshiliwi. Bul integralda

x

a t

=

×  dep alamız. Onda dx

a dt

=

×  bolıp,

(

)

2

2

2

2

arcsin

arcsin

1

1

dx

a dt

a dt

dt

x

t

C

C

a

a

x

a

at

t

a

t

×

×

=

=

=

=

+

= +

-

-

-

-

ò

ò

ò

ò

boladı.

 3.

2

2

1

1

x

dx

x

x

+

+ +

ò

 integraldı esaplan’.

 Sheshiliwi. Bul integralda

2

1

x

x

t

+ + =

 almashtırıwın orınlaymız. Onda

(

)

2

1

d x

x

dt

+ + = ,

(

)

2

1

x

dx

dt

+

=

.

(

)

2

2

2

1

2

1

ln | |

1

1

x

dx

x

dt

dx

t

C

x

x

x

x

t

+

+

=

=

=

+

+ +

+ +

ò

ò

ò

bolıp,

2

2

2

1

ln

1

1

x

dx

x

x

C

x

x

+

=

+ + +

+ +

ò

boladı.

 4.

2

dx

x

a

+

ò

 integraldı esaplan’.

 Sheshiliwi. Bul integralda

2

x

a

x

t

+ + =

dep alamız. Bul ten’liktin’ ha’r eki ta’repinin’ differensialların tabamız.

(

)

2

d

x

a

x

dt

+ +

= ,

40

(

)

2

x

a

x

dx

dt

¢

+ +

×

= ,

2

1

2

1

2

x

dx

dt

x

a

æ

ö

×

+

=

ç

÷

+

è

ø

,

2

1

x

dx

dt

x

a

æ

ö

+

=

ç

÷

+

è

ø

,

2

2

x

x

a

dx

dt

x

a

+

+

=

+

.

Keyingi ten’likten

2

2

dx

dt

dt

t

x

a

x

a

x

=

=

+

+ +

bolıp,

2

2

ln | |

ln

dx

dt

t

C

x

a

x

C

t

x

a

= =

+ =

+ + +

+

ò

ò

boladı.

 

2. Bo‘leklep integrallaw usılı

 Meyli

( )

u

u x

=

 ha’m

( )

v

v x

=

 funktsiyalar u’zliksiz

u¢

 ha’m

v¢

 tuwındılarg’a

iye bolsın. Onda bo’leklep integrallaw formulası to’mendegishe boladı:

udv

uv

vdu

=

-

ò

ò

.

 Mısallar. 1. İntegraldı esaplan’.

x

xe dx

ò

.

 Sheshiliwi. Bul integralda

,

x

u

x

dv

e dx

=

=

dep,

,

x

x

du

dx

v

e dx

e

=

=

=

ò

bolıwın tabamız. Bo‘lekleb integrallaw formulası boyınsha

x

x

x

xe dx

xe

e dx

=

-

ò

ò

boladı. Demek

(

)

1

x

x

x

x

xe dx

xe

e

C

e

x

C

=

-

+ =

- +

ò

.

2.  İntegraldı esaplan’.

41

ln xdx

ò

.

 Sheshiliwi. Bul integralda

ln ,

u

x

dv

dx

=

=

dep alınsa, onda

1

,

du

dx v

x

x

=

=

boladı. Bo’leklep integrallaw formulası boyınsha:

1

ln

ln

ln

xdx

x

x

x

dx

x

x

x

C

x

=

-

×

=

- +

ò

ò

.

3.

sin

x

xdx

ò

 integraldı esaplan’.

 Sheshiliwi. Bul integralda

,

sin

u

x dv

xdx

=

=

dep alamız, onda

,

sin

cos

du

dx

v

xdx

x

= = =

-

ò

boladı. Bo’leklep integrallaw formulasın paydalanıp:

(

) (

)

sin

cos

cos

cos

sin

x

xdx

x

x

x

dx

x

x

x

C

= × -

- -

×

=

-

+

+

ò

ò

.

4.

arctg xdx

ò

 integraldı esaplan’.

 Sheshiliwi. Bul integralda

arctg ,

u

x dv

dx

=

=

dep alsaq, onda

2

1

,

1

du

dx

v

x

x

=

=

+

boladı,

(

)

2

2

2

1

1

1

arctg

arctg

arctg

1

2

1

d

x

xdx

x

x

x

dx

x

x

x

x

+

= ×

-

×

=

×

-

=

+

+

ò

ò

ò

(

)

2

1

arctg

ln 1

2

x

x

x

C

= ×

-

+

+

bo‘ladi.

42

5.

(

)

(

)

2

2

1, 2,3,... ,

0

n

n

dx

J

n

a

x

a

=

=

¹

+

ò

 integraldı esaplan’.

Sheshiliwi.

1

n

=

 bolg’anda

1

2

2

2

2

2

1

1

1

arctg

1

1

dx

dx

dx

x

a

J

C

x

a

a

a

a

x

x

a

a

a

=

=

=

=

+

+

é

ù

æ ö

æ ö

+

+

ê

ú

ç ÷

ç ÷

è ø

è ø

ê

ú

ë

û

ò

ò

ò

boladı.

Endi berilgen integralda

(

)

2

2

1

,

n

u

dv

dx

x

a

=

=

+

dep tabamız:

(

)

(

)

(

)

(

)

1

2

2

2

2

1

2

2

2

2

1

2

2

n

n

n

n

nx

du

d

d

x

a

n x

a

xdx

dx

x

a

x

a

-

- -

+

æ

ö

= =

+ =

-

+

× =

-

ç

÷

+

è

ø

+

,

v

x

=

.

Bo‘leklep integrallaw formulasına ko‘re

(

)

(

)

1

2

2

2

2

1

2

n

n

n

x

J

x

n x

dx

x

a

x

a

+

=

× +

×

+

+

ò

                            (1)

boladı. Bul ten’liktin’ on’ ta’repindegi integraldı to’mendegishe jazıp alamız:

(

)

(

)

(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

n

n

n

n

x

x

a

a

x

a

a

dx

dx

dx

dx

x

a

x

a

x

a

x

a

+

+

+

+

+

-

+

=

=

-

=

+

+

+

+

ò

ò

ò

ò

(

)

(

)

2

2

1

1

2

2

2

2

n

n

n

n

dx

dx

a

J

a J

x

a

x

a

+

+

=

-

=

-

+

+

ò

ò

.                        (2)

(1) ha’m (2)- qatnaslardan

(

)

2

1

2

2

2

2

n

n

n

n

x

J

n J

na

J

x

a

+

=

+

×

-

×

+

tabamız.

Keyingi ten’likten bolsa

43

(

)

1

2

2

2

2

1

2

1 1

2

2

n

n

n

x

n

J

J

na

n

a

x

a

+

-

=

×

+

×

+

                                 (3)

bolıwı kelip shıg’adı.

A’dette, (3) ten’lik rekurrent formula delinedi. Ma’lim bolg’anınday,

1

1

arctg

x

J

C

a

a

=

+

.

(3) formula ha’m

1

J  din’ ma’nisinen paydalanıp,

(

)

2

2

2

2

2

2

2

1

1 1

arctg

2

2

dx

x

x

J

C

a x

a

a

a

x

a

=

=

×

+

×

+

+

+

ò

bolıwın tabamız. (3) formula ha’m

2

J  nin’ ma’nisinen paydalanıp

3

J  tabıldı ha’m

t.b.