Лекция. Линейное пространство, линейная зависимость. Основание и мера линейного пространства, подстановка координат при изменении основания Пусть V

1-Лекция. Линейное пространство, линейная зависимость. Основание и мера линейного пространства, подстановка координат при изменении основания
Пусть V – некоторое непустое множество. Назовем элементы этого множества (абстрактными) векторами и сохраним за ними стандартные обозначения векторов в виде a, b, c, ...

Предположим, что для векторов множества V определены линейные операции, а именно:

• 
  Задано правило, которое любым двум векторам a и b множества V ставит в соответствие некоторый вектор c этого же множества, называемый их суммой: .
  
• 
  Задано правило умножения произвольного вектора a на вещественное (или комплексное) число  .
  

Учитывая, что сложение векторов обычного трехмерного пространства обладает свойствами коммутативности и ассоциативности, потребуем сохранения этих свойств и применительно к операции сложения абстрактных векторов множества V:

		(1)
		(2)

Множество V называется векторным пространством (или линейным пространством), если эти линейные операции удовлетворяют двум аксиомам.

Аксиома 1 устанавливает свойства коммутативности и ассоциативности относительно операции сложения векторов (равенства (2) и (3)), существование нулевого вектора (равенство (4)), а также существование противоположного вектора (– a) для каждого вектора a из множества V (равенство (5)):

		(2)
		(3)
		(4)
		(5)

Аксиома 2 формулирует условия, которым должны удовлетворять операции умножения векторов на числа:

		(6)
		(7)
		(8)

Отметим, что различают вещественное и комплексное векторные пространства – в зависимости от того, на какие числа допускается умножение элементов пространства.

Приведем примеры векторных пространств.

• 
  Множество всех векторов на прямой со стандартными операциями сложения векторов и их умножения на вещественные числа образует вещественное векторное пространство .
  
• 
  Множество всех векторов плоскости образует векторное пространство .
  
• 
  Множество всех векторов трехмерного пространства образует векторное пространство .
  
• 
  Множество всех строчных матриц размера 1×n образует векторное пространство.
  
• 
  Множество всех столбцовых матриц размера n×1 образует векторное пространство.
  

Таким образом, понятие векторного пространства определяется не природой образующих его элементов, а правилами действий над этими элементами, в качестве которых могут выступать реальные векторы, матрицы, функции или иные математические объекты.
Пусть L – линейное пространство над F, a1, a2, …, ak ∈ L.