Лекция Предмет «Методика преподавания математики и информатики»

Методика изучения признаков равенства прямоугольных треугольников
Методическая схема параллельного изучения признаков равенства прямоугольных треугольников (одновременного рассмотрения формулировок этих признаков и их доказательств):

1. 
   сообщить признаки равенства прямоугольных треугольников с помощью единой структурированной их записи;
   
2. 
   привести единое доказательство первых двух признаков;
   
3. 
   закрепить это доказательство путем повторения его применительно к первому признаку;
   
4. 
   повторить предыдущий пункт схемы применительно ко второму признаку;
   
5. 
   воспроизвести доказательство третьего признака;
   
6. 
   применить признаки равенства прямоугольных треугольников при решении задач.
   

Одновременное сообщение трех признаков равенства прямоугольных треугольников может быть проведено на основе следующей записи:
«Если гипотенуза и острый угол катет и противолежащий ему угол гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны
гипотенузе и острому углу катету и противолежащему ему углу гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны».
На уроке необходимо привести рисунки и краткую запись теоремы.


Методические особенности изучения темы «Подобие треугольников»
План.

1. 
   Роль темы в курсе геометрии 8-9-ых классов.
   
2. 
   Изложение темы в традиционных учебниках геометрии.
   
3. 
   Актуальные проблемы преподавания темы по действующим учебникам.
   

1. Понятие подобия является одним из важнейших в курсе планиметрии. Признаки подобия треугольников широко используются в курсе не только планиметрии, но и стереометрии. При изучении материала, связанного с подобием, реализуются межпредметные связи с алгеброй и физикой: (пропорциональность, уравнения, квадратные корни, геометрическая оптика, механика и др.) В курсе геометрии подобию отводится значительное место (по учебнику Л.С. Атанасяна в 8-ом классе – 18 часов, и по учебнику А.В. Погорелова в 9-ом классе – 16 часов). Поэтому важно уделять особое внимание пониманию и прочному усвоению данного материала всеми учащимися.
2. В действующих учебниках геометрии по-разному осуществлен подход к изложению материала. Рассмотрим более подробно, как представлена эта тема в каждом из них для того, чтобы понять, почему материала только одного учебника при изучении этой темы недостаточно. В учебниках А.В. Погорелова «Геометрия 7-11» подобие треугольников рассматривается в начале 9 класса в параграфе 11 «Подобие фигур». В первом пункте «Преобразование подобия» дается определение: «Преобразование фигуры в фигуру называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз. Это значит, что если произвольные точки , фигуры при этом преобразовании переходят в точки , фигуры , то , причем число – одно и то же для всех точек X, Y. Число называется коэффициентом подобия. При =1 преобразование подобия, очевидно, является движением». Далее дается определение гомотетии и доказывается, что гомотетия есть преобразование подобия.
В следующем пункте «Свойства преобразования подобия» рассматриваются и доказываются свойства:
- преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки;
- преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.
В пункте «Подобие фигур» дается следующее определение «Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия». Доказывается транзитивность преобразования подобия. И далее: «В записи подобия треугольников: – предполагается, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т.е. переходит в , – в и – в ».
Из свойств преобразования подобия заключается, что «у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны».
Следующие три пункта данного параграфа посвящены признакам подобия треугольников:
- по двум углам;
- по двум сторонам и углу между ними;
- по трем сторонам.
При доказательстве теорем применен следующий прием: приводится единое доказательство для всех трех признаков подобия треугольников: один треугольник подвергается «преобразованию подобия с коэффициентом , например гомотетии» и получается некоторый треугольник , равный треугольнику , что доказывается с помощью признаков равенства треугольников (в каждом случае свой). И делается вывод: «Так как треугольники и гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники и равны и поэтому тоже подобны, то треугольники и подобны». Рисунки к теоремам отличаются друг от друга тем, что для каждого случая в треугольниках отмечены только те элементы, равенство которых в них доказывается. Первые два пункта завершаются задачами на применение соответствующего признака, к которым приведены их решение и рисунки. В конце третьего пункта доказывается, что у подобных треугольников периметры относятся как соответствующие стороны.
В пункте «Подобие прямоугольных треугольников» дается следующий признак: «для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу». С помощью этого признака доказываются соотношения: катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу; высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
Тут же доказывается следующее свойство биссектрисы треугольника: биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Далее рассматриваются пункты «Углы вписанные в окружность» и «Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности».
К данному параграфу предлагается 64 задачи. В задаче №14 после рассматриваемого параграфа требуется доказать следующее свойство высоты: высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному. В №42 требуется доказать, что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны.
В учебниках Л.С. Атанасяна «Геометрия 7-9» подобие рассматривается в теме «Подобные треугольники». Определение подобных треугольников дается не на основе преобразования подобия, а через равенство углов и пропорциональность сходственных сторон. Признаки подобия треугольников здесь доказываются на основе теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, доказанную ранее в теме «Площадь».
«Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы». То есть, если и – площади треугольников и , у которых , то .
Сначала вводится понятие пропорциональных отрезков. Затем говорится, что «в геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Так, подобными являются любые два квадрата, любые два круга». Далее вводится понятие сходственных сторон треугольника: «Пусть у двух треугольников и углы соответственно равны: , , . В этом случае стороны и , и , и называются сходственными», которое тут же сопровождается соответствующим рисунком и пояснением к нему.
Опираясь на понятие пропорциональных отрезков, далее дается определение подобных треугольников: «Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого». И затем это определение записано в символьном виде: «Другими словами, два треугольника подобны, если для них можно ввести обозначения и так, что , , , ». Дается определение: «Число , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия». Рисунок, поясняющий это определение, тот же, что и для понятия сходственных сторон и находится рядом на странице.
В следующем пункте дается теорема об отношении площадей подобных треугольников. В задаче №535 доказывается утверждение, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Задачи №№536-540 – на применение этого свойства. В №543 требуется доказать, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведенных к этим сторонам. В №547 необходимо доказать, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Признаки подобия треугольников рассматриваются каждый в отдельности, доказываются три теоремы, которые сопровождаются соответствующими рисунками, расположенными тут же, параллельно тексту доказательства. Далее идет серия задач на применение этих признаков.
В параграфе «Применение подобия к доказательству терем и решению задач» дается определение средней линии треугольника, доказывается теорема о средней линии треугольника и, используя эту теорему, доказывается, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Рисунок к этой задаче отражает все ключевые моменты доказательства.
В пункте «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике» доказывается, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. Вводится понятие среднего пропорционального и доказываются два утверждения:
1. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, а которые делится гипотенуза этой высотой.
2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.
Затем в пункте «Практические приложения подобия треугольников» показано, как при решении задач на построение применяется метод подобия. Далее показано как свойства подобных треугольников могут быть использованы для проведения различных измерительных работ на местности: рассмотрены две задачи – определение высоты предмета и расстояния до недоступной точки. Всем задачам сопутствуют соответствующие рисунки, на которых выделены цветом необходимые данные.
Заканчивается изложение материала пунктом «О подобии произвольных фигур».
3. Из нашего обзора видно, что использование только одного из этих учебников при изучении данной темы недостаточно.
В первом из этих учебников важные утверждения, необходимые для решения многих задач в курсе геометрии, и не только в этом разделе, располагаются среди других упражнений, направленных на выработку конкретных навыков, и никак не выделяются. Среди задач практически нет устных упражнений, простых примеров. К очень малому количеству задач даются готовые чертежи. Предполагается, что учитель сам на доске изобразит множество рисунков, необходимых для объяснения и закрепления материала или будет использовать дополнительную литературу и раздаточный материал на уроке. Но в таком случае как быть тем детям, которые не присутствовали по разным причинам на уроках? А сейчас таких детей крайне много. Учащиеся пропускают уроки не только по причине болезни, хотя у нас на севере практически нет здоровых детей, но и потому что они участвуют в различных соревнованиях, предметных олимпиадах, конференциях, конкурсах, они ездят в другие регионы и иногда пропускают довольно много школьных занятий. Это особенно актуально для инновационных учебных заведений – лицеев и гимназий.
Молодому учителю, только что пришедшему в школу, будет весьма сложно работать по учебнику Погорелова. И если на его пути не встретится опытный учитель-наставник или методическое объединение учителей, которые обеспечили бы его необходимыми методическими пособиями и дидактическими материалами, поделились бы своим опытом работы и своими многолетними наработками, то начинающему педагогу придется крайне трудно в первые годы работы в школе.
При работе со вторым учебником у начинающего учителя также могут возникнуть определенные трудности. Также как и в первом учебнике, некоторые довольно серьезные теоремы и утверждения здесь даны для самостоятельного доказательства в задачах. Только что пришедшему в школу специалисту будет сложно не пропустить при решении упражнений из учебника основные, требующие особого внимания и необходимые для решения других задач и доказательств последующих теорем, ключевые задачи. В итоге учащиеся относятся к этим задачам несерьезно, учат только то, что дано в тексте параграфа, а про эти задания забывают, считают, что раз они в задачах, то их учить и знать не обязательно.
Также в этом учебнике практически нет задач на отработку навыков распознавания подобных треугольников, признаков подобия, нахождения коэффициента подобия и т.д. Каждая последующая задача коренным образом отличается от предыдущей, нет аналогичных задач, направленных на выработку определенных навыков. Все задачи подразумевают использование умения применять полученные только что знания каждый раз в новой ситуации.
Таким образом, эти учебники рассчитаны только на сильных учеников. Все вышесказанное способствует тому, что при изучении темы «Подобие» целесообразно применять одновременно с действующим учебником и другие дидактические материалы, поддерживающие не только практическую часть курса, но и теоретическую.