Литература sadullaev A., Zhabborov N. M. On a class of a-analitic functions, Sibirian Federal

---

Mathematics, mechanics and intellectual technologies., Tashkent-2023
1
Некоторые свойства (A,b)-аналитических функций при
A(z) ≡ const, b(z) = const
A. Эргашев
1
1
А. Эргашев, Ташкент, Узбекистон;
e-mail1@address1
Пусть A, b−антианалитическая,
∂A
∂z
=
∂b
∂z
= 0 в области D ⊂  такая, что
|A(z)| ≤ C < 1, ∀z ∈ D . Положим
D
A,b
f (z) =
∂f (z)
∂z
− A(z)
∂f (z)
∂z
− b(z)f (z).
Функция f ∈ C
1
(D) называется (A, b)− аналитической в D , если она удовлетворяет
следующему дифференциальному уравнению:
∂f
∂z
− A
∂f
∂z
= bf.
(1)
Тогда согласно (1) класс (A, b)− аналитических функций f ∈ O
A,b
(D) характеризу-
ется тем, что
D
A,b
f = 0.
Теперь зафиксируем z
0
∈ D и рассмотрим следующие функции
ψ(z.z
0
) = z − z
o
+
Z
γ(z
o
,z)
A(τ )dτ
(2)
и
ϕ(z, z
o
) = e
R
γ(zo,z)
b(τ )dτ
(3)
где γ(z
o
, z)− гладкая кривая, соединяющая точек z
o
, z ∈ D
Отметим, что
∂ψ(z)
∂z
= 1,
∂ψ(z)
∂z
= A(z),
∂ϕ(z)
∂z
= 0,
∂ϕ(z)
∂z
= b(z)ϕ(z).
Рассмотрим некоторые свойства этих функций, когда A(z) ≡ const, b(z) = const.
Теорема 1. Eсли f ∈ O
A,b
(D) и то для произвольной точки z
o
∈ D и L(z
o
, R) ⊂ D
выполняется неравенство
|f (z
o
)| ≤
(1 + |A|)e
rb
1−|A|
2πr
Z
|ψ(ξ,z
o
)|=r
|f (ξ)||dξ|, ∀r < R.
Теорема 2. Всякое решение уравнения (1) представимо в виде
f (z) = F (z + Az)e
bz
,
где F (z)-аналитическая в
z+Az
1−|A|
2
(D).
ЛИТЕРАТУРА
1. Sadullaev A., Zhabborov N.M. On a class of A-analitic functions, Sibirian Federal
University, Maths and Physics, 2016 ,Vol 9 (3), p. 374-383.
2. Vekua I.N. Generalized analytical functions, M., "Science 1988, 512 pp.
3. Zhabborov N.M., Otaboev T.U., Sh.Ya. Khursanov, Schwartz Inequality and
Schwartz Formula for A-analytical Functions, Contemporary Mathematics. Fundamental
Directions. 2018, Vol. 64, No.4 p. 637-649.
1