Logarifmik qoldiq. Argument prinsipi. Rushe teoremasi. Modulning maksimum prinsipi. Shvars lemmasi Logarifmik qoldiq

Rushe teoremasi.

Teorema2 (Rushe teoremasi). Agar f(z) va F(z) funksiyalar chekli bog’lamli sohada va uning cheklita yopiq bo’lakli silliq Jordan chiziqlaridan iborat chegarasida regulyar bo’lsa va nuqtalarda tengsizlik bajarilsa, u holda F(z)+f(z) hamda F(z) funksiyalar sohada bir xil sondagi nollarga ega bo’ladi.

Isbot. soha chegarasi da tengsizlik bajarilganligidan uchun tengsizliklarning ham o’rinli ekanligi kelib chiqadi. Logarifmik qoldiq haqidagi teoremaga binoan Rushe teoremasining isboti uchun

(4)

tenglikni ko’rsatish kifoyadir. Shu tenglikni isbotlaymiz.

. (5)

Agar deb olsak, u holda (5) tenglikning ikkinchi integrali dan iborat bo’ladi, unda integrallash chizig’i nuqta chegarani musbat yo’nalishda bir marta aylangan taqdirda nuqta chizadigan chiziqdan iborat. Teorema shartiga ko’ra . Demak, chiziq markazi nuqta, radiusi 1 ga teng bo’lgan doiraning ichida joylashadi. Bu doira nuqtani o’z ichida saqlamagani uchun murakkab kontur uchun Koshining integral teoremasiga asosan =0. Bundan va (5) tenglikdan (4) formulani olamiz. Teorema 2 isbot bo’ldi.

Modulning maksimumi prinsipi. Shvarts lemmasi. Koshi formulasi va bo’lganda, xususan sodda ko’rinishni oladi: chiziqning parametrik tenglamasi u holda va

. (6)

Demak, regulyar funksiyaning doira markazidagi qiymati uning doira aylanasidagi qiymatlari o’rta arifmetigiga teng. (6) formuladan foydalanib analitik funksiyalar nazariyasining juda muhim prinsipi- modulning maksimum prinsipini keltirib chiqarish mumkin. Unga ko’ra - sohada regulyar funksiya moduli shu sohaning hech bir ichki nuqtasida o’zining maksimum qiymatiga erisha olmaydi, agar u aynan o’zgarmasdan farqli bo’lsa.

Haqiqatdan ham, bo’lsin. Prinsipning teskarisini faraz qilamiz, ya’ni shunaqa nuqta mavjudki, bajarilsin.

Markazi nuqtadan iborat doira uchun (6) formulani qo’llab,

ni olamiz. va bo’lganligidan

(7)

uchun ni olamiz. Haqiqatdan ham, agar biror uchun bo’lsa, u holda ning uzluksiz ekanligidan yetarlicha kichik biror interval mavjudki, unda bajarilar edi, bu intervaldan tashqarida . U holda (7) dan . Buning bajarilishi mumkin emas. Shunday qilib, markazi nuqtada bo’lgan istalgan yetarlicha kichik aylanada yoki markazi nuqtada bo’lgan istalgan yetarlicha kichik doirada. Endi butun sohada ekanligini ko’rsatamiz. Shu maqsadda nuqtani ixtiyoriy nuqta bilan biror uzluksiz chiziq bilan tutashtiramiz. chiziq va chegara orasidagi masofani belgilaymiz. Tushunarliki, ixtiyoriy markazi chiziqda yotuvchi radiusli doira da yotadi. Isbotlangan tenglikka ko’ra u har bir bunday doirada o’rinli. Bunday doiraning markazini chiziqning nuqtasidan nuqtasigacha uzliksiz siljitib, ko’ramizki, tenglik hosil bo’lgan har bir doirada bajariladi. Demak, ham o’rinli, ya’ni u butun ga o’rinli. Bundan ning doimiyligini oson keltirib chiqara olamiz. Haqiqatdan, o’zgarmas haqiqiy qism ga ega. U holda Koshi -Riman shartlariga ko’ra chunki da bo’lganligi uchun ham da regulyardir (umumiylikni kamaytirmasdan ni bir bog’lamli chekli soha deb qarash mumkin). Demak, Bundan ekanligini olamiz. Lekin qilgan farazimizga ko’ra . Demak, farazimiz noto’g’ri bo’lib, bu ziddiyat modulning maksimum prinsipini to’g’ri ekanligini bildiradi.