M a ’ru z a Chega ra la ri cheksiz xosmas in te g ra lla r

4 3 - m a ’ru z a
C h e g a ra la ri cheksiz xosmas in te g ra lla r
Funksiyaning aniq integrali (Riman integrali) tushunchasini
kiritishda integrallash oralig'ining chekli bo'lishi talab etilgan edi.
Endi cheksiz oraliqda (|o,+«>); ( - 00, a ]; ( - 00,+00) oraliqlarda)
berilgan funksiyaning shu oraliq bo‘yicha integral tushunchasini
keltiramiz va o‘rganamiz.
1°. Chegaralari cheksiz xosmas integral tushunchasi./(x) funksiya
[a, +00) oraliqda ( a e R) berilgan bo‘lib, ixtiyoriy [a, /j da (a < t < +«>)
integrallanuvchi bo‘lsin: f i x ) e /?((«,/]).
t
Ushbu F( t ) = \ f (x ) d x belgilashni kiritamiz.
a
1- t a ’rif. Agar / -> +00 da F(t) funksiyaning limiti mavjud bo‘lsa,
bu limit f (x ) funksiyanin g [0 , + <») cheksiz oraliq b o ‘y i c h a xosmas
integrali deyiladi va
+06
J f i x ) d x
a
kabi belgilanadi:
+« t
f f{ x ) dx = lim F{t) = lim f f (x ) d x . (1)
J r—>+c0 J
a a
(1) integralni che garas i cheksiz xosmas integral ham deb yuritiladi.
Qulaylik uchun, bundan keyin «chegarasi cheksiz xosmas integral»
deyish o‘miga «integral» deymiz.
2- t a ’rif. Agar M - h » da Fit) funksiyaning limiti mavjud va
chekli bo'lsa, (1) integral yaqinlashuvchi deyiladi.
Agar t - » +00 da F(t) funksiyaning limiti cheksiz yoki mavjud
bo‘lmasa, (1) integral uzoqlashuvchi deyiladi.
1- misol. Ushbu J e~xdx integralni q a ra y lik . Bu hoiaa
o
F( t ) = f e ' xdx = -e~‘ + 1
o
b o i ib , lim F( t ) = 1 b o i a d i .
+00
Demak, berilgan integral yaqinlashuvchi va J e~xdx - 1.
2- misol. Ushbu f —, (a > 0, a > 0) integral uchun J x a
№ ) - ) # •
a
bo‘lib, / —> +oo da
b o iad i. Demak,
In / - In <7, agar a = 1 bo isa,
, - a+ l 0 _a+l
, agar a * 1 boisa
-a+1 - a + I
F( t ) — r , ( a > l ) , a -1
F( t ) -> +oo, ( a < 1)
f dx
J “a
a
integral a > 1 boiganda yaqinlashuvchi, a < 1 bo‘lganda uzoqlashuvchi
boiad i.
3- misol. Ushbu
+© °
J cos xdx
o
integral uzoqlashuvchi b o iad i, chunki /—»+<*> da
/
F( t ) - J cos xdx = sin t
o
funksiyaning limiti maviud emas.
295
a +«o
J f (x)dx, J f{x)dx
Yuqoridagidek,
xosmas integrallar va ulaming yaqinlashuvchiligi, uzoqlashuvchiligi
ta’riflanadi:
u a
f (x ) d x = lim \f(x)dx, J / —>-®o J
—OO t
-foo U
f (x ) d x = lim f f (x)dx.
J Uu—-»>++~oo J•
D — >—o o |>
2°. Yaqinlashuvchi xosmas integralning sodda xossalari. Xosmas
integralning turli xossalarini/(*) funksiyaning [«,+~) oraliq bo‘yicha
olingan
j f (x) dx
a
integrali uchun bayon etamiz. Bu xossalarni
a -h»
J f (x) dx, J f (x ) d x
00 00
integrallar uchun keltirishni o‘quvchiga havola etamiz.
+0°
1- xossa. Agar J f (x ) d x integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda
a
J f (x ) d x , (a < b)
b
integral ham yaqinlashuvchi boiadi va aksincha. Bunda
+00 b +00
j f (x ) d x = j f ( x ) d x + J f (x ) dx (2)
a a b
tenglik bajariladi.
296
-4 Ravshanki,
r h i
j f ( x ) d x - ^f (x)dx +J/(x)fitc, (a < b < t ).
a a h
Aytaylik, J f (x) dx integral yaqinlashuvchi bo‘lsin. Demak,