M u n d a r I j a

x
0
; y
0
) nuqta f funksiyaning grafigiga
tegishli bo’lsa, u holda (y
0
; x
0
) nuqta f
−1
funksiyaning grafigiga tegishli bo’ladi.
Agar f : D(f ) → R funksiya uchun, biror y ∈ E(f )
da (1) tenglama ikki yoki undan ko’p yechimga ega
bo’lsa, u holda f funksiya teskarilanuvchan emas, ya’ni
f ga teskari funksiya mavjud emas. Bu holda berilgan
funksiyaning aniqlanish sohasi D(f ) ni ”kichraytirish”
hisobiga (1) tenglamani barcha y ∈ E(f ) larda yagona
yechimga ega bo’ladigan qilish mumkin. Buni quyidagi
misolda tushuntiramiz:
f : R −→ R
+
= [0; ∞),
f (x) = x
2
funksiyani qaraymiz. f (x) = 4 ⇐⇒ x
2
= 4 tenglama
ikkita x
1
= −2, x
2
= 2 yechimlarga ega. Agar bu
funksiyaning aniqlanish sohasini R
+
desak, u holda
istalgan y ∈ R
+
uchun x
2
= y tenglama D(f ) = R
+
da yagona x =
√
y yechimga ega bo’ladi. Demak,
f : R
+
→ R
+
,
f (x) = x
2
funksiyaga teskari funksiya
f
−1
(y) =
√
y ekan.
1.
(97-1-9) Quyidagilardan qaysi biri y =
3
x + 1
− 2
funksiyaga teskari funksiya?
A) y =
3
x − 2
B) y =
x + 1
3
− 2
C) y =
x + 1
3
−
1
2
D) y =
3
x + 2
− 1
Yechish: Berilgan funksiyaning aniqlanish so-
hasi D(f ) = (−∞; −1) ∪ (−1; ∞) dan qiymat-
lar sohasi esa E(f ) = (−∞; −2) ∪ (−2; ∞) dan
iborat. Istalgan y ∈ E(f ) uchun
3
x + 1
− 2 =
y tenglama yagona x =
3
y + 2
− 1 yechimga ega.
Demak, y = f
−1
(x) =
3
x + 2
− 1. Javob: (D).

116
2.
(97-11-9) Quyidagilardan qaysi biri y =
3
2 − x
− 1
funksiyaga teskari funksiya?
A) y = x − 2
B) y =
3
x − 2
+ 1
C) y =
x − 2
3
+ 1
D) y = 2 −
3
x + 1
3.
(00-3-61) Ushbu y = x
2
−4x+7 funksiyaga (−∞; 2]
oraliqda teskari funksiyani toping.
A) 2 ±
√
x − 3
B) 2 −
√
x − 3
C) 2 +
√
x − 3
D) 2 +
√
3 − x
4.
y =
√
x + 1, x ≥ 0 funksiyaga teskari funksiyani
toping.
A) y = (x − 1)
2
B) y = (x + 1)
2
C) y = x
2
+ 1
D) y = x
2
− 1
5.
(01-8-19) Ushbu y =
4
2 − x
−3 funksiyaga teskari
bo’lgan funksiyani ko’rsating.
A) y =
4
x − 3
− 2
B) y =
4
3 − x
− 2
C) y =
4
x + 3
+ 2
D) y = −
4
x + 3
+ 2
6.
(97-6-9) Quyidagilardan qaysi biri y =
2
x − 1
− 1
funksiyaga teskari funksiya?
A) y = 1 −
2
x + 1
B) y = 2 −
3
x
C) y = −
2
x + 1
D) y =
2
x + 1
+ 1
7.
(99-3-29) Funksiyaga teskari funksiyani toping.
y =
x − 1
2 − 3x
A) y =
2 − 3x
x − 1
B) y = −
2 − 3x
x − 1
C) y =
2 − 3x
1 − x
D) y =
2x + 1
3x + 1
8.
(01-1-66) Ushbu y = x
2
− 8 (x ≥ 0) funksiyaga
teskari bo’lgan funksiyaning aniqlanish sohasini
toping.
A) (−8; ∞) B) [−8; ∞) C) (−8; 8) D) [−8; 8]
Yechish: Berilgan funksiyaning aniqlanish so-
hasi D(f ) = [0; ∞) dan qiymatlar sohasi esa
E(f ) = [−8; ∞) dan iborat. 1-qoidaga ko’ra
D(f
−1
) = [−8; ∞). Javob: [−8; ∞) (B).
9.
(98-11-15) Ushbu y = 2x
2
−
1
2
(x ≥ 0) funksiyaga
teskari bo’lgan funksiyani toping.
A)
√
2x + 1 · 2
−1
B)
√
2x + 1 · 4
−1
C)
√
2x + 1 · 2
−1
−
1
2
D)
√
2x + 1 · 4
−1
−
1
2
10.
D(f ) qanday tanlansa f (x) = x
2
−2x+3 funksiyaga
teskari funksiya mavjud bo’ladi.
A) [0; ∞)
B) [1; ∞)
C) [−2; ∞)
D) [−2; 2)
11.
D(f ) qanday tanlansa f (x) = |x − 3| funksiyaga
teskari funksiya mavjud bo’ladi.
A) [3; ∞)
B) [1; ∞)
C) [−2; ∞)
D) [−3; 5)
12.
D(f ) qanday tanlansa f (x) = {x} funksiyaga
teskari funksiya mavjud bo’ladi.
A) [1; ∞)
B) [1; 5)
C) [−2; 0)
D) [0; 1)
13.
(98-6-14) Qaysi nuqta y = x
3
+ 5x − 2 funksiyaga
teskari funksiyaning grafigiga tegishli?
A) (−2; 1)
B) (0; −2)
C) (4; 1)
D) (−8; 1)
Yechish: 4-qoidaga ko’ra, agar (x
0
; y
0
) ∈ Gr(f )
bo’lsa, u holda (y
0
; x
0
) ∈ Gr(f
−1
) bo’ladi. Shu
sababli javoblarda keltirilgan nuqtalarning koor-
dinatalari o’rinlarini almashtirib berilgan funksiya-
ga qo’yib tekshiramiz. y(1) = 4 bo’lgani uchun
(1; 4) nuqta berilgan funksiyaning grafigiga te-
gishli bo’ladi. Demak, (4; 1) nuqta unga teskari
funksiyaning grafigiga tegishli. Javob: (4; 1) (C).
10.5
Aralash tipdagi masalalar
1.
y = f (x) va y = g(x) funksiyalar grafiklari
kesishgan nuqtalarning abssissalari f (x) =
g(x) tenglamaning ildizlari bo’ladi.
2.
Tekislikdagi M
1
(x
1
; y
1
) va M
2
(x
2
; y
2
) nuqta-
lar orasidagi masofa
|M
1
M
2
| =
p
(x
1
− x
2
)
2
+ (y
1
− y
2
)
2
.
3.
y = |x − a| + |x − b| (a < b) funksiyaning qiy-
matlar sohasi E(y) = [b − a; ∞) dan iborat.
1.
(00-3-59) Agar f (x+1) = x
2
−3x+2 bo’lsa, f (x)
ni toping.
A) x
2
− 3x − 1
B) x
2
− 5x + 1
C) x
2
− 5x + 6
D) x
2
− 4
Yechish: x + 1 = t deb olamiz, u holda x = t − 1
bo’ladi. Uni f (x + 1) = x
2
− 3x + 2 tenglikka
qo’yamiz:
f (t) = (t − 1)
2
− 3(t − 1) + 2 = t
2
− 5t + 6.
Javob: f (x) = x
2
− 5x + 6 (C).
2.
(00-9-60) Agar f (x−1) = x
2
+3x−2 bo’lsa, f (x)
ni aniqlang.
A) x
2
+ 2x − 3
B) x
2
+ 5x − 4
C) x
2
+ 5x + 2
D) x
2
− x − 2
3.
(97-7-16) k ning qanday qiymatlarida y =
k
x
− 1
funksiyaning grafigi C(−
1
2
; −3) nuqtadan o’tadi?
A) 1
B) −2
C) −1
D)
1
2
4.
(97-10-16) k ning qanday qiymatida y = kx
3
+ 2
funksiyaning grafigi B(−2; 10) nuqtadan o’tadi?
A) 2
B) 1
C) −0, 5
D) −1
5.
(99-4-15) y =
k
x + 2
, (k > 0) funksiyaning grafigi
qaysi choraklar orqali o’tadi?
A) I va III
B) II va IV
C) I, III, IV
D) I, II va III

117
6.
(03-6-40) y = x|x|
−1
funksiya grafigi koordinata-
lar tekisligining qaysi choraklarida joylashgan?
A) III
B) IV
C) II, III
D) I, III
7.
(99-5-40) y(x) = |x − 1| + |x − 3| funksiyaning
qiymatlar sohasini toping.
A) [0; ∞) B) [1; ∞) C) [2; ∞) D) [3; ∞)
Yechish: 3-qoidaga ko’ra, E(y) = [2; ∞) ni olamiz.
Javob: [2; ∞) (C).
8.
(03-12-26) y = |x − 1| + |x − 3| funksiyaning eng
kichik qiymatini toping.
A) 3
B) 4
C) 2
D) 1
9.
(00-9-45) f (x) = |x + 2| + |x + 8| funksiyaning
qiymatlar sohasini toping.
A) [0; ∞)
B) [3; ∞)
C) [4; ∞)
D) [6; ∞)
10.
(02-7-13) f (x) =
3
x − 4
funksiyaning qiymatlar
to’plamini toping.
A) (−∞; 0)∪(0; ∞)
B) (−∞; 4)∪(4; ∞)
C) (−∞; 3) ∪ (3; ∞)
D) (−∞; −1) ∪ (−1; ∞)
11.
(00-3-60) Argumentning qanday qiymatida
y =
5x
2|x + 1| − 5
funksiya 2 ga teng?
A) −
4
3
B) −
5
3
C) −2
D) −
14
9
12.
(00-7-17) Koordinata boshidan y = x
2
va y =
1
x
funksiyalarning grafiklari kesishgan nuqtagacha
bo’lgan masofani aniqlang.
A) 2
B) 1,5
C)
√
2
D)
1
2
√
2
Yechish: 1-qoidaga ko’ra, funksiyalar grafiklari
kesishgan nuqtalar abssissalari x
2
=
1
x
⇐⇒ x
3
= 1
tenglama yechimlari bo’ladi. Bu tenglamaning
yechimi x = 1. Bundan y = 1 ni olamiz. Ko-
ordinata boshi O(0; 0) dan N (1; 1) nuqtagacha
masofa (2-ga qarang)
|ON | =
p
(1 − 0)
2
+ (1 − 0)
2
=
√
2.
Javob:
√
2 (C).
13.
(03-12-32) 3x + 4y + 7 = 0 va 3x + y − 5 = 0
to’g’ri chiziqlarning kesishish nuqtasi koordinata
boshidan qanday masofada joylashgan?
A) 5
B) 6
C) 8
D) 8
√
2
14.
(01-4-12) M (x, y) nuqtaning koordinatalari yig’in-
disi 3 ga teng. Bu nuqta va koordinata boshi
orasidagi eng qisqa masofa qanchaga teng bo’ladi?
A) 3
√
2
B) 2
√
3
C) 1, 5
√
2
D) 4, 5
√
2
15.
(00-10-8) y = |x − 1| − 5 va y = 0 funksiyalar
grafiklari kesishgan nuqtalar abssissalarining kvad-
ratlari yig’indisini toping.
A) 36
B) 48
C) 24
D) 52
Yechish: 1-qoidaga ko’ra, funksiyalar grafiklari
kesishgan nuqtalar abssissalari |x−1|−5 = 0 ⇐⇒
|x − 1| = 5 tenglama yechimlari bo’ladi. Bu
tenglamani geometrik usulda yechsak, sonlar o’qida
koordinatasi 1 bo’lgan nuqtadan 5 birlik chapda
−4 ni, 5 birlik o’ngda 6 ni olamiz. Ular kvadrat-
lari yig’indisi (−4)
2
+ 6
2
= 16 + 36 = 52. Javob:
52 (D).
16.
(98-11-12) y = |x − 2| + 1 va y = 5 funksiyalar
grafiklari kesishgan nuqtalar abssissalari kvadrat-
larining yig’indisini toping.
A) 52
B) 32
C) 40
D) 36
17.
(01-11-14) Ushbu y = x
4
va y = 2x
2
−1 funksiya-
larning grafiklari nechta umumiy nuqtaga ega?
A) 4
B) 3
C) 1
D) 2
18.
(02-1-53) Agar y = x
3
+ 1 va −1 < x < 2 bo’lsa,
y qanday oraliqda o’zgaradi?
A) (−1; ∞)
B) (0; 9)
C) (1; 8)
D) (−1; 9)
19.
(02-12-47) y = ax
3
+b kubik parabolaning grafigi
A(1; 18) va B(−1; 14) nuqtalardan o’tadi. Qaysi
nuqtada bu funksiyaning grafigi Ox o’qini kesib
o’tadi?
A) (0; 2)
B) (−3; 0)
C) (3; 0)
D) (−2; 0)
20.
(98-4-41) f (x) = 1 − 2x funksiya berilgan. Agar
f (ϕ(x)) = x bo’lsa, ϕ(x) funksiyani toping.
A)
1 − x
2
B)
x + 1
2
C)
x − 1
2
D)
2x − 1
4
Yechish: Masala shartiga ko’ra f (ϕ(x)) = 1 −
2ϕ(x) = x. Bu yerdan 1−x = 2ϕ(x), ya’ni ϕ(x) =
1 − x
2
. Javob: (A).
21.
(00-9-43) f (x) = 2x
2
va ϕ(x) = x + 1 bo’lsa, x
ning nechta qiymatida f (ϕ(x)) = ϕ(f (x)) bo’ladi?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
22.
Agar f (x) = x
2
− 1 va ϕ(x) = x + 1 bo’lsa,
f (ϕ(x)) ning qiymatini toping.
A) x
2
B) x
2
+ 2x
C) 2x
D) x
2
− 2x
23.
(01-7-46) Agar f (x) =
1 − x
1 + x
bo’lsa, f (
1
x
)+
1
f (x)
ning qiymatini toping.
A)
4x
1 − x
2
B)
4x
x
2
− 1
C)
x
2
+ 1
x
2
− 1
D)
2(x
2
+ 1)
x
2
− 1
11
-bob. Ko’rsatkichli tenglama
va tengsizliklar
11.1
Ko’rsatkichli funksiya
y = a
x
, a > 0, a 6= 1 ko’rinishdagi funksiyaga ko’rsatkich-
li fuksiya deyiladi. Uning aniqlanish D(y) = (−∞; ∞)
va qiymatlar sohasi E(y) = (0; ∞). y = a
x
funksiya
a > 1 da o’suvchi, 0 < a < 1 da kamayuvchi. y = a
x
funksiyaning grafigi I va II choraklarda yotadi (11.1-
chizmaga qarang).

118
Ixtiyoriy a > 0, b > 0 sonlar uchun quyidagi teng-
liklar o’rinli:
1.
a
x+y
= a
x
· a
y
.
2.
(a
x
)
y
= a
xy
.
3.
a
x
a
y
= a
x−y
.
4.
³
a · b
´
x
= a
x
· b
x
.
5.
³ a
b
´
x
=
a
x
b
x
.
6.
³ a
b
´
−x
=
³ b
a
´
x
.
7.
a
−x
=
1
a
x
.
8.
a
−m/n
=
1
a
m/n
.
1.
(98-7-23) Quyidagilardan qaysilari kamayuvchi funk-
siyalar?
1) y = 0, 37
x
;
2) y = (
3
√
11)
x
;
3) y = 3 · (
1
2
)
x
;
4) y = (
3
4
)
x
;
5) y =
1
2
· 3
x
A) 1; 3; 5
B) 2; 3; 4
C) 1; 4
D) 1; 3; 4
Yechish: y = a
x
funksiya 0 < a < 1 da kama-
yuvchi bo’lgani uchun 1; 3; 4 funksiyalar kamayuv-
chi bo’ladi. Javob: 1; 3; 4 (D).
2.
Kamayuvchi funksiyalarni ajrating.
y
1
= 2
x
;
y
2
= e
x
;
y
3
= π
−x
; y
4
= (
e
π
)
x
A) y
1
; y
2
B) y
2
; y
3
C) y
3
; y
4
D) y
4
; y
1
3.
O’suvchi funksiyalarni ajrating.
y
1
= 3
x
;
y
2
= e
x
;
y
3
= π
x
A) y
1
B) y
2
C) y
3
D) barchasi
4.
f (x) = e
x
−1 funksiyaning qiymatlar sohasini to-
ping.
A) (0; ∞)
B) (1; ∞)
C) (−1; ∞)
D) [0; ∞)
5.
f (x) = 2
x
− 2
−x
funksiyaning qiymatlar sohasini
toping.
A) (0; ∞)
B) (1; ∞)
C) (−∞; ∞)
D) [0; ∞)
6.
f (x) = 2
x
− 2
−x
funksiyaning x = 2 nuqtadagi
qiymatini toping.
A) 0
B) 2
C) 3, 75
D) 3, 25
Yechish: f (2) = 2
2
− 2
−2
= 4 −
1
2
2
= 4 −
1
4
.
Demak, f (2) = 3, 75 ekan. Javob: 3, 75 (C).
7.
y = 2
x
− 1 funksiya grafigi qaysi choraklar orqali
o’tadi?
A) I; III
B) II; IV
C) I; II
D) II; III
8.
Grafigi koordinata boshidan o’tuvchi funksiyani
toping.
A) y = 2
x
− e
x
B) y = e
x
+ 1
C) y = 3
x
− 3
D) y = 2
x
− 2
9.
y = 7
x
− 1 funksiya grafigi qaysi nuqta orqali o’tadi?
A) (0; 1)
B) (1; 6)
C) (2; 13)
D) (−1; 0)
10.
(97-7-16) k ning qanday qiymatida y = 2
kx
− 1
funksiyaning grafigi C(2; 15) nuqtadan o’tadi?
A) 1
B) −2
C) 4
D) 2
Yechish: Masala shartidan 15 = 2
2k
− 1 teng-
likni olamiz. Bu yerdan
16 = 2
2k
⇐⇒ 2
4
= 2
2k
⇐⇒ 4 = 2k
kelib chiqadi. Demak, k = 2. Javob: 2 (D).
11.
(98-2-30) Quyidagi sonlardan qaysi biri 1 dan
katta?
a = 0, 7
2,3
· 0, 3
0,8
,
b = 3, 2
−4,2
· 1, 2
−0,8
,
c = 0, 7
−1,2
· 0, 6
−0,4
,
d = 0, 6
0,4
· 0, 3
0,6
,
A) a, d
B) b, c
C) c
D) d, c
12.
(98-5-31) Ushbu y = a
x
funksiya uchun qaysi mu-
lahaza noto’g’ri?
A) aniqlanish sohasi barcha haqiqiy sonlar to’plami
B) qiymatlari to’plami barcha musbat haqiqiy
sonlar to’plami
C) garifigi (0;1) nuqtadan o’tadi
D) aniqlanish sohasida har doim o’suvchi
13.
Toq funksiyalarni ajrating.
y
1
= a
x
− a
−x
;
y
2
= x(a
x
+ a
−x
);
y
3
= x · e|x|.
A) y
1
B) y
2
C) y
2
; y
3
D) barchasi
14.
(99-3-27) Funksiyalardan qaysilari juft funksiya?
y
1
=
a
x
+ a
−x
2
;
y
2
=
a
x
+ 1
a
x
− 1
;
y
3
=
x
a
x
− 1
;
y
4
= x
a
x
− 1
a
x
+ 1
;
A) y
1
B) y
2
C) y
2
; y
3
D) y
1
; y
4
11.2
Ko’rsatkichli tenglamalar
A. Bir xil asosga keltirib yechiladigan
tenglamalar
Bu yerda quyidagi tenglikdan foydalaniladi:
1.
a
f (x)
= a
g(x)
⇐⇒ f (x) = g(x),
a > 0, a 6= 1.

119
1.
(97-9-94) Tenglamani yeching.
³ 25
64
´
7