Mantiq elementlari va ul;arnin g qo’llanilish Reja. Mantiq elementlari

R
yo
yo	R

Mulohaza inkorining xossasi: A = bo’ladi:


Masalan, A: «17 —tub son»;
«17 — tub son emas»;
: «17 — tub son emasligi yolg’on» yoki «17 — tub son».
Mulohazalar konyunksiyasi.
3-ta’rif.Ikkita sodda A, B mulohazalardan tuzilgan «A va
B» mulohazaga mulohazalar konyunksiyasi deyiladi.
The easiest way to clarify the meaning of these logical connectives is by
using truth tables. The truth table for ^ is¹

A	B	A ˄ B
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

A	B	A∧B
R	R	R
R	Y	Y
Y	R	Y
Y	Y	Y

Mulohazalar konyunksiyasi uning tarkibiga kirgan mulohazalar rost bo’lganda, rost bo’ladi va «A∧B» yoki «A&B» ko’rinishda yoziladi hamda «A va B» kabi o’qiladi. Konyunksiyaning rostlik jadvali 38-betdagi ko’rinishda bo’ladi:
Masalan, a) A: «5 — tub son» — (R); B: «5 >6» — (Y) bo’lsin, u holda A∧B: «5 — tub son va u 6 dan katta» — yolg’on mulohaza bo’ladi.
b) A: «3<8» —(R),B: «8< 11» — (R), A∧B: «3 <8∧8< 11» yoki «3<8< 11», ya’ni tengsizliklar konyunksiyasini qo’sh tengsizlik ko’rinishida yozish mumkin va aksincha; ta’rifga ko’ra «3 <8 < 11» — rost mulohaza.
Mulohazalar konyunksiyasining xossalari:
1°. A∧ B = B∧A(kommutativlik);
2°. (A∧ B)∧ C = A∧(B∧C) = A∧B∧C(assotsiativlik);
3°. A∧ = Y (A∧ — aynan yolg’on mulohaza).
Mulohazalar konyunksiyasi xossalarining to’g’riligini rostlik jadvallari tuzish va mos kataklardagi murakkab mulohazalar qiymatlarini taqqoslab tekshirish mumkin.


Mulohazalar dizyunksiyasi.
1-ta’rif. Ikkita sodda A, B mulohazalardan tuzilgan «A yoki B» mulohazaga mulohazalar dizyunksiyasi deyiladi.²
Mulohazalar dizyunksiyasi «A∨B» ko’rinishda yoziladi, «A yoki B» deb o’qiladi va uning tarkibiga kirgan mulohazalarning hech bo’lmaganda bittasi rost bo’lganda, rost bo’ladi.
B: «𝜋 — irratsional son» — R.
A∨ B: «10 — juft son yoki 𝜋 — irratsional son» — R.
d) A: «15 — juft son» — Y.
B: «Kvadrat topato’g’ri to’rtburchak emas» — Y.
A∨ B: «15 — juft son yoki kvadrat toprtburchak emas» — Y.
Mulohazalar dizyunksiyasining xossalari:
1°. A∨ B = B ∨ C(kommutativlik).
2°. (A∨ B)∨ C = A∨ (B∨ C) = A∨ B∨ C(assotsiativlik).
3°. A ∨ A = R (A∨ A) — aynan rost mulohaza).
4°. A∨ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) — dizyunksiyaning konyunksiyaga nisbatan distributivligi).
5°A ∧( B∨ Q) = (A ∧ B) ∨ (A∧ Q) — konyunksiyaning dizyunksiyaga nisbatan distributivligi.
6°. De-Morgan qonunlari (De-Morgan shotland matematigi (1806—1871)).
Tengliklarning topg’riligi rostlik jadvalini tuzib isbot qilinishi mumkin.
De-Morgan qonunlarini olaylik. a) = , ya’ni mulo- hazalar konyunksiyasi inkori mulohazalar inkorlarining dizyunksiyasi bilan ekvivalent.
Rostlik jadvalini tuzamiz.

A	B			A∧ B
R	R	Y	Y	R	Y	Y
R	Y	Y	R	Y	R	R
Y	R	R	Y	Y	R	R
Y	Y	R	R	Y	R	R

Jadvalning oxirgi ikki ustuni A va B mulohazalar qiymatlarining turli kombinatsiyalarida bir xil. Demak, = ekanligi
topg’ri.
Misol keltiraylik.
A — «Men shaxmat o’ynayman».
B — «Men tennis o’ynayman».
— «Mening shaxmat va tennis o’ynashim yolg’on».
— «Men shaxmat yoki tennis o’ynamayman».
Mulohazalar implikatsiyasi.
2-ta’rif.Sodda A va B mulohazalardan tuzilgan «AgarA bo’lsa, B bo’ladi» ko’rinishidagi mulohaza A va B mulohazalarning implikatsiyasi deyiladi va «A⇒B» ko’rinishda belgilanadi.
A⇒ B implikatsiya faqat A rost B yolg’on bo’lgandagina yolg’on bo’ladi. A — implikatsiya sharti, B — xulosasi deyiladi. A ni B uchun yetarli, B ni A uchun zaruriy shart deb ham ataladi. Implikatsiyaning rostlik jadvali quyidagicha bo’ladi:

A	B	A⇒ B
R	R	R
R	Y	Y
Y	R	R
Y	Y	R

Masalan, a) A:«15 soni 3 ga bo’linadi» — R; B:«15 sonining raqamlari yig’indisi 3 ga bo’linadi» — R. A ⇒B:«Agar 15 soni 3 ga bo’linsa, u holda 15 sonining raqamlari yig’indisi 3 ga bo’linadi» — R.
b) A:«5 · 5 = 25», B:«5 + 5 = 15» bo’lsin. A ⇒B:«Agar
5⋅5 = 25 bo’lsa, u holda 5+5=15bo’ladi» — Y.
d) A:«25 sonining yozuvi 0 raqami bilan tugamaydi» — R. B: «25 soni 10 ga bo’linadi» — Y. A⇒B: «Agar 25 sonining yozuvi
0 raqami bilan tugamasa, u holda 25 soni 10 ga bo’linadi» — Y.
Agar A⇒ Bim’likatsiya berilgan bo’lsa, B ⇒Aunga teskari,A⇒Besa qarama-qarshi, B ⇒Aesa qarama-qarshiga teskari implikatsiyalar deyiladi.
Mulohazalar implikatsiyasining xossalari:
1°. A⇒B= ∨ B.
2°. A⇒B= B ⇒ A(kontrapozitsiya qonuni).
Mulohazalar ekvivalensiyasi.
Thus p q is true if p and q are either both true or both false.
We say that a well-formed proposition is true if its truth-value is true
whatever truth-values are assigned to the atomic propositions it contains.
Truth tables allow you to determine whether any well-formed proposition
is true or false.
3-ta’rif. Sodda A va B mulohazalardan tuzilgan «A faqat va faqat B bo’lgandagina bo’ladi» ko ‘rinishdagi mulohaza A va B ning ekvivalensiyasi deyiladi va «A⇔B» ko ‘rinishda yoziladi.³
A⇔Bekvivalensiya A va B mulohazalarning qiymatlari bir xil bo’lganda rost bo’ladi. Ekvivalensiyaning rostlik jadvali:

A	B	A⇔B
R	R	R
R	Y	Y
Y	R	Y
Y	Y	R

Masalan, «129 soni 3 ga faqat va faqat uning raqamlari yig’indisi 3 ga bo’linsagina bo’linadi».
129⋮3⇔(1+2+9)⋮3. — Rost
Tarkibiga kirgan ixtiyoriy elementar mulohazalarning rost yoki yolg`onligidan qat’iy nazar rost bo`ladigan murakkab mulohaza tavtologiya deyiladi. Ularning rostligi rostlik jadvali yordamida isbot qilinadi.


Prove them using truth tables, and say what they mean in words.

• 
  Modus Ponens: (p ˄ (p → q)) → q;
  

• 
  Modus Tollens: (p → q) ˄ ¬ q) → ¬ p;
  
• 
  ((p → q) ˄ (q → r)) → (p → r);
  
• 
  ((p ˅ q) ˄ ¬ p) → q;
  
• 
  ((p ˅ q) ˅ r) (p ˅ (q ˅ r))
  
• 
  ((p ˄ q) ˄ r) (p ˄ (q ˄ r))
  
• 
  ((p → q) ˄ (r → s) ˄ (p ˅ r)) → (q ˅ s);
  
• 
  p ˄ q → p
  
• 
  p → p ˅ q
  
• 
  ((p → q) ˄ (p → r)) → (p → (q ˄r));
  
• 
  De Morgan’s Theorem I: ¬ (p ˄ q) (¬ p ˅ ¬ q)
  
• 
  De Morgan’s Theorem II: ¬ (p ˅ q) (¬ p ˄ ¬ q)
  
• 
  Double Negation: ¬¬p p;
  

• 
  Distributive I: p ˄ (q ˅ r) (p ˄ q) ˅ (p ˄ r);
  
• 
  Distributive II: p ˅ (q ˄ r) (p ˅ q) ˄ (p ˅ r);
  
• 
  p ˅ ¬ p.
  

Quyidagi tavtologiyalarning rostligini rostlik jadvali orqali isbotlang.

• 
  «Modus Ponens»: (p ˄ (p → q)) → q;
  
• 
  «Modus Tollens»: (p → q) ˄ ¬ q) → ¬ p;
  
• 
  ((p → q) ˄ (q → r)) → (p → r);
  
• 
  ((p ˅ q) ˄ ¬ p) → q;
  
• 
  ((p ˅ q) ˅ r) (p ˅ (q ˅ r))
  
• 
  ((p ˄ q) ˄ r) (p ˄ (q ˄ r))
  
• 
  ((p → q) ˄ (r → s) ˄ (p ˅ r)) → (q ˅ s);
  
• 
  p ˄ q → p
  
• 
  p → p ˅ q
  
• 
  ((p → q) ˄ (p → r)) → (p → (q ˄r));
  
• 
  de-Morgan 1 -teoremasi: ¬ (p ˄ q) (¬ p ˅ ¬ q)
  
• 
  de-Morgan 21 -teoremasi: ¬ (p ˅ q) (¬ p ˄ ¬ q)
  
• 
  Inkorni-inkor qonuni: ¬¬p p;
  
• 
  1-distributivlik qonuni: p ˄ (q ˅ r) (p ˄ q) ˅ (p ˄ r);
  
• 
  1-distributivlik qonuni: p ˅ (q ˄ r) (p ˅ q) ˄ (p ˅ r);
  
• 
  p ˅ ¬ p.⁴