Markaziy limit teorema

2 – teorema: Ixtiyoriy uchun da (3) bo`lsa, tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun markaziy limit teorema urinli bo`ladi.
(3) shartga Lindeberg sharti deyiladi. Bu shartning bajarilishi ixtiyoriy uchun qo`shiluvchilarning tekis kichikligini ta`minlaydi.
Haqiqatan ham,

bo`lgani uchun

Agar (3) bajarilsa, da oxirgi tengsizlikning o`ng tomoni nolga intiladi.
Endi teoremani isbotlaymiz..
, va
bo`lsin.
tasodifiy miqdorlar ketma- ketligi o`zaro bog`liq bo`lmaganligi uchun
(4)
bo`ladi va teoremani isbotlash uchun (3) sharti bajarilganda

bo`lishligini ko`rsatish yetarli.
Bizga ma`lumki uchun
(5)
va ixtiyoriy uchun
(6)
tengsizligi o`rinli.
Ixtiyoriy va da

(3) shartga asosan da
(7)
(5) va (7) ga asosan barcha va yetarlicha katta lar uchun shartni qanoatlantiruvchi larda

shuning uchun (6) dan
(8)
kelib chiqadi.
(6) ni e`tiborga olsak, (7), (8) ga asosan, da


(8) dagi yig`indini quyidagi tasvirlaymiz:

bu yerda

da ni ko`rsatamiz.
(5) dan


ni tanlash va (3) shartga asosan, da .
Demak, da ya`ni
Teorema isbot bo`ladi.
uchun mavjud bo`lsin va deb olamiz.
3 – teorema (Lyapunov teoremasi). Agar bog`lanmagan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi bo`lib, da
(9)
sharti bajarilsa, tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun markaziy limit teorema o`rinli bo`ladi.
(9) shartga Lyapunov sharti deyiladi.
Isboti: Teoremani isbotlash uchun Lyapunov sharti bajarilganda Lindeberg sharti o`rinli bo`lishligini ko`rsatamiz.
bo`lganda tengsizligi bajariladi.
Bundan va (9) shartdan
.
Demak, 3- teoremaning isboti 2- teoremadan kelib chiqadi.
Noqulay ahvolda tarqalgan oddiy taqsimotning kutilmagan ko'rinishi (hatto juda shikastlangan) statistika amaliyotida juda muhim dasturlar mavjud. Statistikada ko'plab tajribalar, masalan, farazlarni tekshirish yoki ishonch oralig'i bilan bog'liq bo'lgan ma'lumotlar, aholi haqida ma'lumotlar olinganligini taxmin qilishadi. Dastlab statistik ma'lumotlarga asoslangan taxminlardan biri shundaki, biz ishlayotgan aholi odatda taqsimlanadi.
Ma'lumotlarning an'anaviy taqsimlanishidan kelib chiqadigan narsa, masalani soddalashtiradi, lekin biroz tasavvurga ega emas. Haqiqiy dunyo ma'lumotlari bilan biroz ishlaydigan bo'lsak, chuqurlik, chayqalish , ko'p pike va asimmetriya juda muntazam ravishda namoyon bo'ladi. Oddiy bo'lmagan aholi ma'lumotlarining muammolarini ko'rib chiqamiz. Tegishli namuna o'lchamlari va markaziy limit teoremasidan foydalanish oddiy bo'lmagan populyatsiyaning ma'lumotlarini olishimizga yordam beradi.
Shunday qilib, biz ma'lumotlarning tarqalishi shaklini bilmasak ham, markaziy limit teoremasi, namunaviy taqsimotning odatdagidek muomala qilishimiz mumkinligini aytadi. Albatta, teoremaning xulosalari uchun biz etarli miqdorda namuna o'lchamiga muhtojmiz. Kashfiyotdagi ma'lumotlarni tahlil qilish bizga ma'lum bir vaziyat uchun qanchalik katta miqdordagi namunani olish kerakligini aniqlashga yordam beradi.


Foydalanilgan adabiyotlar:

1. 
   Klimov G.P. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika. -M .: Moskva nashriyoti. Universitet, 1983 yil.
   
2. 
   A.A. Sveshnikov tomonidan tahrirlangan. Uchun vazifalar to'plami ehtimollar nazariyasi, matematik statistika va nazariya tasodifiy xususiyatlar.
   
3. 
   https://www.ziyouz.com/
   
4. 
   Sirojiddinov S. X., Mamatov M. M. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika. Toshkent, “0’qituvchi”, 1980 yil.