Ma'ruza 10 Evolyusion tenglama uchun Koshi masalasi Reja

Ma'ruza 10 Evolyusion tenglama uchun Koshi masalasi
Reja
l.O'zgarmas operatorli Koshi masalasi.

2. 
   Koshi masalasining korrektligi.
   
3. 
   Koshi masalasi yechimning turg'unligini baholash.
   

Tayanch iboralar
Evolyusion tenglama. Koshi masalasi. Yechimning turg'unligi. Diskret spektr. Normal operator.
Skalyar argument t ga bog'liq bo'lgan f(t) va x(t) funksiyalar X va F Gilbert fazolariga qarashli bo'1 sin. Chiziqli A operator esa X ni F ga akslasin. Evolyusion tenglama deb
— = Ax + f (1)
dt
ko'rinishli tenglamaga aytamiz. Bunda f(t) va A berilgan bo'lib, x(t) nomalum funksiya.
Bu tenglama uchun Koshi masalasi deb uning
x(0) = x₀ (2)
shartni qanoatlantiruvchi yechimiga aytiladi. (1) ko'rinishli tenglamaga va unga
qo'yilgan Koshi masalasiga vaqtga bog'liq bo'lgan fizik jarayonlar keltiriladi.
Evolyusion tenglama uchun Koshi masalasi korrekt qo'yilmagan bo'lishi
ham, yani shartli korrekt qo'yilishi ham mumkin. Eng sodda evolyusion
tenglamalar uchun ularning korrekt qo'yilishi masalasiga to'xtalamiz.
Dastlab biz bir jinsli evolyusion tenglama bo'lgan
cfoc , , _ _ч
— = Ax (3)
dt
ko'rinishli tenglamani qaraymiz. Bunda A - o'zaro qo'shma operator va uning spektri diskret bo'lgan holni qaraymiz. Bu holda A operatorning to'liq ortogonal {cp,. (7)} xos funkiyalari sistemasi mavjud va unga mos xos qiymatlari sistemasi {Л_к} lar o'sish tartibida joylashgan. Shuning uchun, xar bir x e X funksiya
oo
x{t)=Y,x_k{t)
k, x_k=(x,
k)
к=-ю
ko'rinishda bo'lganligidan (3) tenglama ko'rinishli tenglamalarga ajraladi.
Agar x°_k = (x₀, cp_k) bo'lsa, u holda evolyusion tenglama uchun Koshi masalasi yechimi
x_k(t) = _Xy^kt (4)
ko'rinishda bo'ladi. Evolyusion tenglama yechimining (4) ko'rinishidan masala korrekt qo'yilishi uchun A_k xos qiymatlar ketma-ketligining yuqoridan chegaralangan bo'lishi zarur va etarlidir yani, ixtiyoriy A_k uchun A_k shartlar bajarilishi kerak. Haqiqatdan ham, Koshi masalasi yechimi uchun
||jc(/)||^e^C/|| JC₀||
baholash o'rinli ekanligini tekshirish oson. Agar biz £>0, t>0, ju> 0 son- larni qaraydigan bo'lsak, shunday x_(j topiladiki (masalan, etarlicha katta к lar uchun x₀ = s(p_k ),
1*0 II <£, ||x(0||>//
tengsizliklar o'rinli bo'ladi. Bu tengsizliklardan Koshi masalasi yechimini turg'un emasligi kelib chiqadi.
Endi Koshi masalasining shartli korrektligigato'xtalamiz. Teorema 1. (3) tenglamada A - normal operator bo'lsin, ya'ni A*A = AA*. U holda (3) tenglamaning har bir yechimi [0,Г] oraliqda