Epidemiyalar nazariyasi uchun differensial tenglama tuzish va uni yechish
Tekshirilayotgan kasallik uzoq vaqt davom etuvchi bo‘lganda epidemiyalar nazariyasida differensial tenglamalarni qanday tuzish va ularning echilishi bilan tanishamiz. Bunda infeksiyani uzatish jarayoni kasallikning davom etishiga nisbatan ancha tez va kasallikni yuqtirgan kishilar to‘dada qolgan holda boshqa kishilarga kasallikni yuqtirishni davom ettiradilar.
B oshlang‘ich vaqt da a– kasallikni yuqtirgan manba’lar, b – yuqtirmagan manba’lar bo‘lsin. – vaqtga kelib hosil bo‘lgan kasallikni yuqtirgan va yuqtirmagan manba’lar soni bo‘lsin. Bir avlod hayoti vaqtidan kichik har qanday vaqt oralig‘idan momentida quyidagi tenglik o‘rinli:
.
Mana shu shartda vaqt o‘tishi bilan kasallanmagan manba’lar sonining o‘zgarish qonuni, ya’ni aniqlash kerak.
Infeksiya (kasallikni uzatish) kasallangan manba bilan kasallanmaganlarning muloqati orqali o‘tgani uchun kasallanmagan manba’lar vaqt o‘tishi bilan kasallangan va kasallanmagan manba’lar muloqati miqdoriga proporsional ravishda kamayib boradi, vaqt oralig‘i uchun kelib chiqadi, bu erda proporsionallik koeffisienti. Bu tenglamaga yuqoridagi tenglamadan ning qiymatini olib kelib qo‘ysak, quyidagi differensial tenglama hosil bo‘ladi:
.
Boshlang‘ich bo‘lishidan foydalanib differensial tenglama-ni yechimini topamiz.
.
Topilgan formula kasallanmagan manbalarning vaqt o‘tishi bilan kamayish qonunini ifodalaydi.
Yuqorida ko‘rib o‘tilgan masalalar oddiy differensial tenglamalarni yechish usullari orqali yechildi. Differensial tenglamalar yordamida boshqa sohalarga oid ko‘plab masalalar ham yechish mumkin. Odatda amaliy masalalarni yechishda tuzilgan tenglamalar nochiziqli differensial tenglamalarga keladi. Bunday tenglamalarni yechishni umumiy usullari ishlab chiqilmagan. Ularni ayrim hususiy hollardagi yechimini topishimiz mumkin.
Do'stlaringiz bilan baham: |
