Ma’ruza Evklid fazolari Chiziqli fazolarda norma kiritishning sinalgan usullaridan biri, unda skalyar ko‘paytma
Download 146.75 Kb. Pdf ko'rish
|
7-maruza Evklid fazosi
|
Ma’ruza 7. Evklid fazolari Chiziqli fazolarda norma kiritishning sinalgan usullaridan biri, unda skalyar ko‘paytma kiritishdir. 7.1-ta’rif. Bizga L haqiqiy chiziqli fazo berilgan bo‘lsin. Agar L×L dekart ko‘paytmada aniqlangan p funksional quyidagi to‘rtta shartni qanoatlantirsa, unga skalyar ko‘paytma deyiladi: 1) p(x, x) ≥ 0, ∀x ∈ L; p(x, x) = 0 ⇐⇒ x = θ; 2) p(x, y) = p(y, x), ∀x, y ∈ L ; 3) p(αx, y) = αp(x, y), ∀α ∈ R , ∀x, y ∈ L; 4) p(x
1 + x
2 , y) = p(x 1 , y) + p(x 2 , y), ∀x
1 , x
2 , y ∈ L.
7.2-ta’rif. Skalyar ko‘paytma kiritilgan chiziqli fazo Evklid fazosi deyiladi va x, y elementlarning skalyar ko‘paytmasi (x, y) orqali belgilanadi. Evklid fazosida x elementning normasi kxk =
p (x, x)
(7.1) formula orqali aniqlanadi. Bu funksional norma aksiomalarini qanoatlantiradi. Skalyar ko‘paytmaning 1-4 shartlaridan normaning 1-2 shartlari bevosita kelib chiqadi. Uchburchak aksiomasining bajarilishi Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi deb ataluvchi quyidagi |(x, y)| ≤ kxk · kyk (7.2)
tengsizlikdan kelib chiqadi. Endi (7.2) tengsizlikni, ya’ni Koshi–Bunyakovskiy tengsizligini isbotlaymiz. λ ∈ R ning barcha qiymatlarida nomanfiy bo‘lgan kvadrat uchhadni qaraymiz: φ (λ) = (λ x + y, λ x + y) = λ 2 (x, x) + 2λ (x, y) + (y, y) = = λ 2 k x k 2 + 2λ (x, y) + k y k 2 .
D = 4 [(x, y)] 2 − 4 kxk 2 · kyk
2 ≤ 0 .
Bundan [(x, y)]
2 ≤ kxk
2 · kyk
2 ya’ni
|(x, y)| ≤ kxk · kyk . Endi (7.1) norma uchun uchburchak aksiomasining bajarilishini ko‘rsatamiz: k x + y k 2 = (x + y, x + y) = (x, x) + 2 (x, y) + (y, y) ≤ ≤ k x k 2 + 2 k x k · k y k + k y k 2 = (k x k + k y k) 2 .
Bundan k x + y k ≤ k x k + k y k tengsizlik kelib chiqadi. Shuni ta’kidlaymizki, Evklid fazosida yig‘indi, songa ko‘paytirish va skalyar ko‘paytma amallari uzluksizdir, ya’ni agar x n → x, y n → y (norma bo‘yicha yaqinlashish ma’nosida), α n
x n + y n → x + y,
α n x n → α x,
(x n , y n ) → (x, y) . Bu tasdiqlarning isboti quyidagicha: k (x
n + y
n ) − (x + y) k = k (x n − x) + (y n − y) k ≤
≤ k x n − x k + k y n − y k → 0, n → ∞; k α n
n − α x k = k α n x
− α x n + α x n − α x k ≤ k (α − α n ) x
n k +
+ k α ( x n − x) k = | α − α n | · k x
n k + | α | · k x n − x k → 0, n → ∞ ; |(x
n , y
n ) − (x, y) | = | (x n , y
n ) − (x, y n ) + (x, y n ) − (x, y) | ≤ | (x n − x, y
n ) | +
+ | (x, y n − y) | ≤ k x n − x k · ky n k + k x k · k y n − y k → 0, n → ∞ . Evklid fazolarida nafaqat vektorning normasini (ya’ni uzunligini), balki vektorlar orasidagi burchak tushunchasini ham kiritish mumkin. Noldan farqli x va y vektorlar orasidagi ϕ burchakning kosinusi cos ϕ =
(x, y) kxk · kyk (7.3) formula bilan aniqlanadi. Koshi–Bunyakovskiy tengsizligiga ko‘ra (7.3) ning o‘ng tomoni moduli bo‘yicha birdan oshmaydi va demak (7.3) formula haqiqatan ham, nolmas x va y vektorlar orasidagi ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π burchakni bir qiymatli aniqlaydi. Agar (x , y) = 0 bo‘lsa, u holda x va y vektorlar ortogonal deyiladi va x⊥y shaklda yoziladi. 7.3-ta’rif. Agar ixtiyoriy α 6= β da (x α , x β ) = 0 bo‘lsa, u holda nolmas {x α } vektorlar sistemasiga ortogonal sistema deyiladi. Agar bu holda har bir elementning normasi birga teng bo‘lsa, {x α } ortogonal normalangan sistema, qisqacha ortonormal sistema deyiladi. Agar {x α } vektorlar ortogonal sistemani tashkil qilsa, u holda {x α } chiziqli bog‘lanmagan bo‘ladi. Haqiqatan ham, α 1 x 1 + α 2 x 2 + · · · + α n x n = θ
bo‘lsin. Bu tenglikning ikkala qismini x i ga skalyar ko‘paytirib, quyidagiga ega bo‘lamiz (x i , α 1 x 1 + α 2 x 2 + · · · + α n x
) = α i (x i , x
i ) = 0, i = 1, 2, . . . , n 2
(x i , x i ) 6= 0 bo‘lgani uchun, barcha i ∈ {1, 2, . . . , n} larda α i = 0 bo‘ladi. 7.4-ta’rif. Agar {x α } sistemani o‘zida saqlovchi minimal yopiq qism fazo E fazoning o‘ziga teng bo‘lsa, u holda {x α } sistema to‘la deyiladi. 7.5-ta’rif. Agar {x α } ortonormal sistema to‘la bo‘lsa, u holda bu sistema E fazodagi ortonormal (ortogonal normalangan) bazis deyiladi. Ravshanki, agar {x α } ortogonal sistema bo‘lsa, u holda kx α k −1 · x
α ortonormal sistema bo‘ladi. 7.1-misol. R n = {x = (x 1 , x
2 , . . . , x n ) , x
i ∈ R} − n o‘lchamli Evklid fazosi. Bu fazoda skalyar ko‘paytma quyidagicha kiritiladi (x, y) =
n X i=1 x i y i . Bu fazoda {e k = (0, . . . , 0, 1 | {z
k , 0, . . . , 0)} n k=1
vektorlar sistemasi ortonormal bazisni tashkil qiladi.
7.2. Kvadrati bilan jamlanuvchi ketma-ketliklar fazosi, ya’ni ` 2 ni qaraymiz. Bu fazoda skalyar ko‘paytma quyidagicha kiritiladi (x, y) =
∞ X i=1 x i y i . ` 2 fazoda ortonormal bazis sifatida (23.8) tenglik bilan aniqlanuvchi {e n }
n=1 vektorlar sistemasini olish mumkin. 7.3. C
2 [a, b] fazoda skalyar ko‘paytma quyidagicha kiritiladi (f, g) = Z b a f (t) g (t) dt. (7.4) Bu fazoda ortogonal (normalanmagan) bazisga 1 2 , cos 2π n t b − a
, sin 2π n t
b − a , n = 1, 2, . . . funksiyalardan tashkil topgan trigonometrik sistema misol bo‘ladi. 7.4. L
2 [a, b] fazoda ham f va g elementlarning skalyar ko‘paytmasi (7.4) tenglik bilan aniqlanadi. 7.6-ta’rif. Agar E Evklid fazosining hamma yerida zich bo‘lgan sanoqli to‘plam mavjud bo‘lsa, E separabel Evklid fazosi deyiladi. 3
Yuqorida keltirilgan R n , ` 2 , C
2 [a, b] va L 2 [a, b] fazolar (19.3-19.6 misollarga qarang) separabel Evklid fazolariga misol bo‘ladi. Har qanday separabel Evklid fazosidagi ixtiyoriy ortonormal sistema ko‘pi bilan sanoqlidir. Mustaqil isbotlang. 7.1-teorema (Ortogonallashtirish jarayoni). Bizga E Evklid fazosida chiziqli bog‘lanmagan f 1 , f 2 , . . . , f n , . . .
(7.5) elementlar sistemasi berilgan bo‘lsin. U holda E Evklid fazosida quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi φ 1
2 , . . . , φ n , . . .
(7.6) sistema mavjud: 1) (7.6) ortonormal sistema. 2) Har bir φ n element f 1 , f
2 , . . . , f n elementlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat, ya’ni φ n = a n1 f 1 + a
n2 f 2 + · · · + a nn f n , a nn > 0 ;
3) har bir f n element f n = b n1 φ 1 + b n2 φ 2 + · · · + b nn φ
, b nn > 0 ko‘rinishda tasvirlanadi. 4) (7.6) sistemaning har bir elementi 1-3 shartlar bilan bir qiymatli aniqlanadi. Isbot. φ
1 element a 11 f
ko‘rinishda izlanadi va a 11 (φ 1 , φ
1 ) = a
2 11 (f 1 , f
1 ) = 1
shartdan aniqlanadi. Bu yerdan a 11 = 1 p(f 1 , f
1 ) = 1 k f
1 k > 0. Ko‘rinib turibdiki, φ 1 bir qiymatli aniqlanadi. Faraz qilaylik, 1-3 shartlarni qanoatlantiruvchi φ k , k ∈ {1, 2, . . . , n − 1} elementlar qurilgan bo‘lsin. Ushbu ψ n = f n − (f
n , φ
1 ) φ
1 − (f
n , φ
2 ) φ
2 − · · · − (f n , φ
n−1 ) φ
n−1 elementni kiritamiz. Ko‘rsatish mumkinki, agar k ∈ { 1, 2, . . . , n − 1} bo‘lsa, (ψ n , φ
k ) = 0
bo‘ladi. (ψ n , ψ n ) = 0 tenglik (7.5) sistemaning chiziqli erkli ekanligiga zid, shuning uchun (ψ n
n ) > 0 . Endi φ n
ψ n p(ψ n , ψ
n ) 4 deymiz. ψ n vektorning qurilishiga ko‘ra u f 1 , f
2 , . . . , f n vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi va demak, φ n ham ularning chiziqli kombinatsiyasi, ya’ni φ n = a n1 f 1 + a n2 f 2 + · · · + a nn f
, bu yerda
a nn = 1 p(ψ
n , ψ
n ) > 0. Bundan tashqari (φ n , φ n ) = 1 , (φ n , φ
k ) = 0, (k < n) va f n
n1 φ 1 + b n2 φ 2 + · · · + b nn φ
, b nn = a −1 nn = p (ψ n , ψ
n ) > 0,
ya’ni φ n teorema shartlarini qanoatlantiradi. ∆ (7.5) sistemadan 1-3 shartlarni qanoatlantiruvchi (7.6) sistemaga o‘tish ortogonallashtirish jarayoni deyiladi. Ko‘rinib turibdiki, (7.5) va (7.6) sistemalardan hosil bo‘lgan qism fazolar ustma-ust tushadi. Bundan kelib chiqadiki, bu sistemalar bir vaqtda to‘la yoki to‘la emas. 7.1-natija. Har qanday separabel Evklid fazosida sanoqli ortonormal bazis mavjud. Isbot. {φ n } ⊂ E Evklid fazosining hamma yerida zich sanoqli to‘plam bo‘lsin. Undan chiziqli bog‘langan elementlarni chiqarib tashlab, qolgan {f n } sistemaga ortogonallashtirish jarayonini qo‘llab, ortonormal bazisni hosil qilamiz. ∆
Download 146.75 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|