Ma`ruza. Kompleks o‘zgaruvchili funksiya va uning limiti Soha tushunchasi

1-chizma 2– chizma

Misol. a) E: aylana ichki nuqtalari to‘plami

b) E: aylana nuqtalari to‘plami

Ta`rif. Agar quyidagi ikki shart:

1. 
   E to‘plam faqat ichki nuqtalardan iborat bo‘lsa;
   
2. 
   E to‘plamning har qanday ikki nuqtasini birlashtiruvchi uzluksiz chiziqning barcha
   

nuqtalari E ga tegishli bo‘lsa, tekslikdagi nuqtalar to‘plami (E) – soha deyiladi.
Ta`rif. Chegaraviy nuqtalari o‘ziga tegishli bo‘lmagan E soha ochiq soha, chegaraviy nuqtalari o‘ziga tegishli bo‘lgan soha yopiq soha deyiladi.
Misol a) E: , , - ochiq soha

b) E: , - yopiq soha

Ta`rif. Soha chegaralangan chiziq sohaning konturi yoki chegarasi deyiladi.
Ba`zi bir sohalarni ko‘rib chiqamiz

1. 
   Ushbu tengsizlik markazi () nuqtada, radiusli aylananing ichki nuqtalaridan, ya`ni radiusli va markazi nuqtada bo‘lgan ochiq doirani bildiradi, chimki, , bundan .
   
2. 
   tengsizlik bilan ifodalangan soha, yuqoridagi natijaga ko‘ra halqa deyilib, markazi nuqtada bo‘lgan va radiuslari bo‘lgan konsentrik aylanalar ichki nuqtalari to‘plamidan iboratdir.
   

Agar bo‘lsa, halqa markazi koordinatalar boshida bo‘ladi. Agar bo‘lsa, bo‘lib, bu radiusli doiradan iborat. Unga markaziy nuqta kirmaydi.

Agar bo‘lsa, bo‘lib, bu radiusli doiraning tashqarisini bildiradi.

Agar va to‘plamlar yopiq bo’lsa doira halqa bo‘ladi.

3. 
   Ushbu tengsizlik, to‘g‘ri chiziqning o‘ng tomonini ifoda qilib, chegara ham to‘plamga kiradi. Haqiqatdan,
   
4. 
   tengsizliklar tekislikning va to‘g‘ri chiziqlar orasidagi qismini bildiradi.
   
5. 
   tengsizliklar tekislikning va chiziqlar orasidagi tasmadan iborat, chunki
   

Jordan chizig‘i

Haqiqiy argumentli (2.1) uzluksiz funksiyalar berilgan bo‘lsa, ular tekislikdagi biror uzluksiz egri chiziqning parametrik tenglamasidan iborat bo‘ladi.

Ta`rif. Agar bu egri chiziqdagi ning ikkita har xil qiymatiga har xil nuqtalar mos kelsa, ya`ni karrali nuqtalarga ega bo‘lmasa bu chiziq Jordan chizig‘i deyiladi yoki uzluksiz silliq chiziq deyiladi. (3a-chizma).


3-chizma
Agar ga ni qo‘ysak egri chiziq teglamasi hosil bo‘ladi. Bunda parametr , dan ga o‘zgarganda z nuqta Jordan chizig‘ini chizadi. Agar bo‘lsa, chiziq yopiq chiziq deyiladi. Bitta yopiq Jordon chizig‘i bilan chegaralangan soha bir bog‘lamli (3b-chizma), aks holda ko‘p bog‘lamli (3c-chizma) soha deyiladi.

Kompleks sonlar ketma-ketligi va uning limiti

Agar sonlarning har biriga bittadan - kompleks son mos kelsa, ushbu cheksiz kompleks sonlar ketma-ketligi hosil bo‘ladi.

(1). Bunda bo‘lib, va lar haqiqiy sonlardan iborat bo‘lgani uchun (1) dan foydalanib quyidagi ikkita haqiqiy hadli ketma-ketlikni hosil qilish mumkin

(2)

(3)

Ta`rif. Agar har qanday kichik son uchun shunday natural sonni topish mumkin bo‘lsaki bo‘lganda (4) tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, son ketma-ketlikning limiti deyiladi va (5) kabi yoziladi, bunda

Bu ta`rifning geometrik ma`nosi shundan iboratki ketma-ketlikning nomerdan keyingi barcha hadlari markazi ­ nuqtada va radiusi ga teng doira ichida yotadi degan so‘z, ya`ni lar doiraga tushadi.

Limitga ega ketma-ketlik yaqinlashuvchi deyiladi.

Ta`rif. Agar ketma-ketlikning har bir hadining moduli biror musbat sondan kichik bo‘lsa, ya`ni shunday son mavjud bo‘lsaki, barcha lar uchun (6) bo‘lsa, u holda ketma-ketlik chegaralangan deyiladi.

Teorema. Harqanday yaqinlashuvchi ketma-ketlik chegaralangandir.

Agar va ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo‘lib, , bo‘lsa, u holda:

1. 
   (7)
   
2. 
   (8)
   
3. 
   (9)bo‘ladi.
   

3. Kompleks o‘zgaruvchili funksiya va uning limiti, uzluksizligi
Biror kompleks tekislikdagi E da kompleks sonlar to‘plami berilgan bo‘lsin. Ta`rif. Agar E to‘plamdan olingan har bir songa biror qonun bo‘yicha dan olingan tayin bir kompleks son mos kelsa, E to‘plamda funksiya berilgan deyiladi.

Bunda argument, esa funksiyadir E to‘plam funksiyaning aniqlanish sohasi deyiladi.

Agar ning har bir qiymatiga ning birgina qiymati mos kelsa, bir qiymatli, aks holda ko‘p qiymatli funksiya deyiladi.

Masalan,,,- bir qiymatli;,,- ko‘p qiymatli funksiyalardir.

Ta`rifdan ko‘rinadiki, funksional munosabat bilan tekislikdagi to‘plamnitekislikdagi to‘plamga ko‘chirar ekanmiz. Bu esa to‘plamni to‘plamga akslantirish (aks ettirish) deyiladi.

Misol. funksiya yordami bilan tekislikdagi to‘g‘ri chiziqning tekislikdagi aksi topilsin.

Yechish. Bunda bo‘lsa, akslanish 6- chizmada tasvirlangan.



4-chizma

Biror kompleks sohada funksiya berilgan bo‘lib, bo‘lsin.

Ta`rif. Oldindan berilgan har qanday kichik son uchun, shunday musbat sonni topish mumkin bo‘lsaki, bunda bo‘lganda, tengsizlik bajarilsa, funksiya o‘zgarmas ga intiladi deyiladi va (10) ko‘rinishida yoziladi.

Xususan, agar bo‘lsa, bo‘lganda tegsizlik bajarilsa, funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi va quyidagicha yoziladi: (11)

Bu geometirik jihatdan funksiya uzluksiz bo‘lsa, z tekislikdagi markazi nuqtada radiusi ga teng bo‘lgan doira nuqtalari, tekislikdagi markazi nuqtada, radiusi ga teng doira nuqtalarga o‘tishini ko‘rsatadi (3-chizma).


5-chizma
Ta`rif. E sohaning har bir nuqtasida uzliksiz bo‘lgan funksiya sohada uzluksiz deyiladi.

Kompleks o‘zgaruvchili funksiyaning limiti va uzluksizligi ta`riflari haqiqiy o‘zgaruvchining limiti va uzluksizligi ta`rifiga o‘xshash bo‘lgani uchun uzluksiz funksiyaning xossalari, ular bilan bajariladigan amallar, ular haqidagi teoremalar va ularning isboti ham haqiqiy o‘zgaruvchilar isboti kabi bo‘ladi.

Uzluksizlikni quyidagicha ham ta`riflash mumkin:

, , , , , bo‘lsa, va funksiya ortirmasi bo‘ladi.

Ta`rif. Agar haqiqiy kichik musbat uchun shunday son topish mumkin bo‘lsaki, bo‘lganda tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi va quyidagicha yoziladi: (12)

Misol. funksiya ixtiyoriy nuqtada uzluksizligini tekshiring

Yechish. ,

Demak, funksiya barcha nuqtalarda uzluksiz.

4. Asosiy elementar funksiyalar
1. Darajali funksiya: .

a) n-natural son bo‘lsa, ;

b) - kasr son bo‘lsa, ,

2. Ko‘rsatkichli funksiya:

Biz bo‘lgan holda ko‘proq misollarni yechish usullarini ko‘rsatamiz.

, ya`ni funksiya sof mavhum davrli. Bu haqiqiy sonlar nazariyasidagi ko‘rsatkichli funksiyadan farqli ekanligini bildiradi.

3. Logarifmik funksiya: (13)

Ta`rif. Logarifmik funksiya deb, ko‘rsatkichli funksiyaga teskari bo‘lgan (13) ko‘rinishidagi funksiyaga aytiladi.

Agar, bo‘lsa, bo‘ladi.

(14). Bunda ga logarifmik funksiyaning bosh qismi deyiladi.

Bulardan ko‘rinadiki, kompleks o‘zgaruvchining logarfmik funksiyasi ko‘p qiymatli ekan. Kompleks o‘zgaruvchining logarifmik funksiyasi ham, haqiqiy o‘zgaruvchining logarfmik funksiyasining ko‘pgina xossalariga bo‘ysinadi.

;

4. 
   Kompleks o‘zgaruvchilarning trigonometrik funksiyalari
   

Ushbu va Eyler formulalari berilgan bo‘lsin. Bu formulalarni hadlab qo‘shib va ayirib quyidagi ning trigonometrik funksiyalarini aniqlaymiz. (15), (16), (17), (18).

Komplek so‘zgaruvchilar trigonometrik funksiyalari ham, haqiqiy o‘zgaruvchilar funksiyalarining ko‘pgina xossalariga bo‘ysunadi. Bunda faqat kompleks sonning va funksiyalarining modullari 1 dan katta ham bo‘lishi mumkin.

Misol. a)

b)

5. 
   Teskari trigonometrik funksiyalar
   

Agar trigonometrik funksiya berilgan bo‘lsa, -o‘zgaruvchi unga teskari funksiya bo‘lib, u ning usi deyiladi va bunda yoziladi . Xuddi shuningdek, , , .

Misol. funksiyaga teskari bo‘lgan funksiyaning qiymatini toping.

Yechish. bunda deb olsak, , , ya`ni (19),

Xuddi shuningdek: (20),

(21),

(22),

Teskari trigonometrik funksiyalar ga bog‘liq bo‘lganligi uchun ular ham ko‘p qiymatli funksiyalardir.

Misol. ning barcha qiymatlarini hisoblang

Yeching. (5.7) formulaga ni qo‘yamiz:

Ushbu , belgilashlarni kiritsak, u holda ;

; chunki ga tegishli vektor o‘qning musbat tomonida joylashganligi uchun , esa chap tomoniga joylashganligi uchun bo‘ladi.

Shunday qilib, , , chunki, bo‘lganda ning bosh qiymati hosil bo‘ladi.

6. 
   Giperbolik funksiyalar
   

Kompleks o‘zgaruvchilarning giperbolik funksiyalari ham haqiqiy o‘zgaruvchilarning giperbolik funksiyalari kabi aniqlanadi. ,, ,

Bunda lar davrli, lar davrli funksiyalardir. Kompleks o‘zgaruvchining giperbolik va trigonometrik funksiyalari orasida quyidagi bog‘lanish mavjud: , ,

Isbot. Shu kabi boshqa tengliklarning to‘g‘riligini o‘zingiz tekshirib ko‘ring.

Misol ning qiymatini toping.

Yeching.

Quyida berilgan funksiyalarning qiymatlarini hisoblang.

№21 J:

№22 , J:

№23 , J:

№24 , J:

№25 , J:

№26 , J:

№27 , J:

№28 , J:

№29 , J: