Massalar markazining harakati haqidagi teorema

Masalalar echish.

Tashqi kuchlar ma`lum bo`lsa, massalar markazining harakati haqidagi teoremaga asosan, massalar markazining harakat qonunini aniqlashimiz mumkin, yoki teskarisi, ya`ni massalar markazining harakati ma`lum bo`lsa, shu sistemaga ta`sir etuvchi tashqi kuchlarning bosh momentini aniqlashimiz mumkin. Birinchi masala bo`yicha nuqta dinamikasida misollar ko`rib o`tgan edik. Quyida ikkinchi masala bo`yicha misollar ko`rib chiqamiz.

Yuqoridagi teorema, masalalarni echishda ichki kuchlarning ishtirokini bekor qiladi. Shu sababli, ko`rilayotgan mexanik sistemani shunday tanlab olish lozimki, noma`lum bo`lgan kuchlarni iloji boricha ichki kuchlar qatoriga o`tkazish lozim.
Massalar markazini harakati haqidagi teoremadan foydalanish o`rinli bo`lgan hollarda, ushbu teorema yordamida, sistemaning biror qismining harakatiga bog`liq ravishda boshqa qismining harakatini aniqlash mumkin bo`ladi.
Yuqorida isbot qilganimizdek, agar =0 va boshlang`ich holatda v<sub>Cx</sub>h0 bo`lsa, u holda sistemaning har qanday harakatida x_Shconst bo`ladi. Aniqroq bo`lishi uchun, massalari m₁, m₂, m₃ -ga teng va har bir jismning massa markazini boshlang`ich koordinatalari x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub> -lardan iborat bo`lgan uchta jismdan tashkil topgan sistema deb faraz qilaylik. Agar sistema ichki (yoki tashqi) kuchlar ta`sirida sistemani tashkil etuvchi nuqtalarning absolyut harakatlarini Ox o`qidagi proektsiyalari ₁, ₂, ₃ bo`lsa, ularning koordinatalari tegishlicha x<sub>1</sub>+<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>+<sub>2</sub>, x<sub>3</sub>+<sub>3</sub> bo`ladi. U holda, (1) formulaga asosan, sistema massalar markazi x_S - ning boshlang`ich va ixtiyoriy vaqtdagi qiymatlari o`zgarmas (bir xil) bo`ladi, natijada: Mx<sub>S0</sub>=m<sub>1</sub>x<sub>1</sub>+m<sub>2</sub>x<sub>2</sub>+m<sub>3</sub>x<sub>3</sub>; Mx<sub>S1</sub>=m<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>+<sub>1</sub>)+m<sub>2</sub>(x<sub>2</sub>=<sub>2</sub>)+m<sub>3</sub>(x<sub>3</sub>=<sub>3</sub>).
Lekin, x<sub>S=</sub>const bo`lganligi uchun, x_S1=x_S0 bo`ladi, demak, m<sub>1</sub><sub>1</sub>+m<sub>2</sub><sub>2</sub>+m<sub>3</sub><sub>3</sub>=0 (17) yoki r<sub>1</sub><sub>1</sub>+r<sub>2</sub><sub>2</sub>+r<sub>3</sub><sub>3</sub>=0 (17`) bo`ladi. Shunday qilib, Ox o`qi bo`yicha massalar markazining harakatini saqlanish qonuni o`rinli bo`lgan holda, sistemaning jismlari (nuqtalari)ning massalari (og`irlik kuchlari)ni, ularning massa markazlarini absolyut ko`chishlariga bo`lgan ko`paytmalarining algebraik yig`indisi nolga teng bo`lar ekan. <sub>1</sub>, <sub>2</sub>, <sub>3</sub> -larning qiymatlarini hisoblashda, ularning ishoralari, albatta, e`tiborga olinishi shart.
123 masala. Og`irligi r bo`lgan qayiqning oldingi qismida og`irligi r<sub>V</sub> -bo`lgan odam va qayiqning orqa qismida og`irligi r<sub>A</sub> -bo`lgan boshqa odam o`tiribdi (285 shakl). Agar, odamlar o`zlarining o`rinlarini almashtirsalar, suvning qarshiligini hisobga olmagan holda, qayiqning qancha masofaga va qaysi tomonga qarab siljishi aniqlansin.


285 shakl.
Yechish: Bizga noma`lum bo`lgan, ya`ni oyoq kiyimlarning tagini qayiqqa ishqalish kuchlari va odamlarning muskullarini kuchlarini, tenglamadan chiqarib yuborish uchun, ikkala odam va qayiqni bir mexanik sistema deb qabul qilamiz (u holda, aytilgan kuchlar ichki kuchlar qatoriga o`tadilar). Vertikal holda yo`nalgan, r, r<sub>A</sub>, r<sub>V</sub>, N kuchlar, tashqi kuchlar hisoblanadi. U holda =0 bo`ladi va boshlang`ich holatda v<sub>Cx</sub>=0 bo`lganligi uchun, x_Sh const bo`ladi. Shu sababli, barcha jismlarning absolyut ko`chishlari (17) formula orqali bog`langan bo`ladi.
Qayiq va odamlarni boshlang`ich va keyingi holatlarda tasvirlab, qayiqning absolyut ko`chishini _qhx² ko`ramiz. Birinchi odamning absolyut ko`chishi _A=x+l; ikkinchi odamning absolyut ko`chishi VV<sub>1</sub> bo`lib, uning Ox o`qidagi proektsiyasi <sub>V</sub>=-(l-x). U holda (17`) tenglamadan, r_x+r_A(x+l)+r_V[-(l-x)]=0, Bundan, qayiqning absolyut ko`chishini aniqlaymiz,x=(r<sub>V</sub> - r<sub>A</sub>)l/R, bu erdagi R=r+r<sub>A</sub>+r<sub>V</sub>.
Agar, r<sub>V</sub> >r<sub>A</sub> bo`lsa, u holda x>0 bo`ladi, ya`ni qayiq o`ng tomonga siljiydi; r<sub>V</sub> A bo`lsa, qayiq chap tomonga siljiydi. Agar, r_V =r_A bo`lsa, qayiq o`z o`rnida qoladi.
Yana bir bor shuni tahkidlaymizki: shunga o`xshash masalalarni echishda, harakati tekshirilayotgan sistemani, shunday tanlab olish lozimki, noma`lum bo`lgan kuchlarni iloji boricha ichki kuchlarga aylantiruvchi holatda tanlab olish kerak.
124 masala. Motor valining massalar markazi, aylanish o`qidan AVhb masofaga siljitilgan. Valning massasi - m<sub>1</sub>, motorning qolgan qismlarining massasi - m<sub>2</sub>. Agar val, o`zgarmas -burchakli tezlik bilan aylanma harakatda bo`lsa, silliq gorizontal tekislikda joylashgan motorning harakatini qonuniyati aniqlansin. Qo`shimcha ravishda, agar motorni fundamentga qo`zg`almas qilib mahkamlansa, 286 shakl. 286 shakl. D nuqtadagi boltning maksimal zo`riqishi aniqlansin.

Yechish: Valni aylantiruvchi kuchlarni, tenglamadan chiqarib tashlash uchun, motor bilan valni bitta mexanik sistema deb qabul qilamiz.

1.Fundamentga mahkamlanmagan motorga ta`sir etuvchi ( =m<sub>1</sub> , =m<sub>2</sub> va tekislikning reaktsiyasi) kuchlar, vertikal yo`nalgan bo`lib, yuqoridagi masalaga o`xshab, massalar markazining harakatini saqlanish qonuni, Sx o`qi bo`yicha o`rinli bo`ladi, Motorni ixtiyoriy holatda tasvirlaymiz (286 shakl) va boshlang`ich holat uchun A va V nuqtalarni bir vertikal (Ou o`qida) chiziqda joylashgan deb hisoblaymiz. U holda, keyingi ixtiyoriy holat uchun _Ahx, _VhxHbsin bo`ladi. Bundan, ht ekanligini e`tiborga olsak, (17) formuladan, m₂x+m₁(x+bsint)=0 bo`ladi, natijada x=- m<sub>1</sub>bsint, bu erdagi M=m<sub>1</sub>+m<sub>2</sub>. Demak, motor -davriy chastota bilan garmonik tebranma harakatda bo`lar ekan.
2. Agar motor fundamentga mahkamlangan bo`lsa, (16`) tenglamalarning birinchisidan boltning reaktsiyasi R_x, R_x=M _s, bu erdagi x_s= ( m₁x_BHm₂x_A). Bu holda A nuqta qo`zg`almas bo`ladi, va x<sub>A</sub>=l (l=const), va x<sub>B</sub>=l+bsint bo`ladi. Natijada, x_s funktsiyadan ikki marta hosila olib, uni M-ga ko`paytirsak (bundan keyin M-harfi bilan butun sistemaning massasini belgilaymiz): R<sub>x</sub>=M <sub>s</sub>=m<sub>1 B</sub>=- m<sub>1</sub>b<sup>2</sup>sint
Boltga ta`sir qiladigan bosim kuchi son qiymati bo`yicha R<sub>x</sub> ga teng bo`lib, qarama qarshi tomonga yo`nalgan bo`ladi; uning maksimal qiymati m₁b²-ga teng. Motorning ishlash jarayonida, boltga nisbatan zarba bo`lmasligini oldini olib, boltni mahkamlab qotirilgan Q-kuchning qiymati shunday bo`lishi lozimki, tekislik bilan motor orasidagi ishqalanish kuchi fQ m₁b² bo`lishi shart.
125 masala. Uzunligi r, massasi m<sub>1</sub> bo`lgan va o`zgarmas  -burchakli tezlik bilan aylanma harakat qiluvchi AV krivoship, D porshen bilan bog`langan kulisani harakatga keltirmoqda. Kulisa bilan porshenning umumiy massasi m₂-ga teng (287 shakl). Porshenning harakatida unga o`zgarmas bo`lgan -kuch ta`sir etadi. Yo`naltiruvchilarga nisbatan ko`rsatiladigan ishqalanish kuchini hisobga olmagan holda, krivoshipning A o`qiga gorizontal yo`nalishda tushadigan maksimal bosim kuchi aniqlansin.
Y e ch i sh. Krivoshipni aylantiruvchi kuchlarni, unga nisbatan kulisaning bosimini tenglamadan chiqarib tashlash uchun, hamma jismlarni bitta sistema deb qabul qilamiz. U holda, A o`qqa ta`sir etuvchi gorizontal bosim kuchini R<sub>x</sub>-deb belgilab, (16`) tenglamalarning birinchisidan, quyidagini yozamiz: M _s= R_x-Q (1) formulaga asosan Mx_S=m₁x₁+m₂x₂.
Ushbu masalada, x₁=0,5rcost, x₂=b+rcost, chunki =t. Natijada: R_x=Q+M _s Q=(0,5m₁+m₂)r²cost. O`qqa ta`sir qiladigan bosim kuchining moduli R_x-ga teng bo`lib, qarama-qarshi tomonga yo`nalgan bo`ladi va =180 da maksimal qiymatga ega bo`ladi, ya`ni Q=(0,5m₁+m₂)r².