Математическое толкование символа O

1. Для бинарного отношения xy  «x + y делится нацело на 3», определенного на множестве Z целых чисел, выясните, какими свойствами оно обладает (рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность) и какими не обладает.
Решение.
Отношение  на множестве х называется рефлексивным, если для любого элемента хХ выполняется хх .
«х+х делится на цело на 3» выполнено не для всех хZ (например (1+4)/3 – в ответе получится дробное число)  нерефлексивно.
Отношение  на множестве х нозывают симметричным, если для любых х, уХ из ху следует ух.
Отношение  симметрично, потому что, если «х+у делится нацело на 3», то и «у+х делится нацело на 3»
Отношение  на множестве х называется транзитивным, если для любых х, у, zХ из ху и ух следует хz.
«х+у делится нацело на 3» и «у+z делится нацело на 3», но «х+z делится нацело на 3» выполняется не для всех z. Отношение нетранзитивное.
Отношение  на множестве х называется антисимметричным, если для любых х, уХ из ху и ух следует х=у.
«х+у делится на 3» и «у+х делится на 3», но не для всех х,у Z следует, что х=у, поэтому отношение неантисимметричное.
Ответ: нерефлективное, симметричное, нетранзитивное, неантисимметричное.


2. Построить композицию следующих отношений («Быть A» означает «x является A для y».): быть родителем, быть сестрой (возможны две композиции, в зависимости от порядка отношений).
Решение.
Композицией отношений XY и YZ называется отношение XZ, такое, что  = {<x,z> | xX & zZ & y(yY & <x,y> & <y,z>)}.
Имеем
<х,у> «х – родитель у»,
<х,у> «х – сестра у».
Поэтому ={<х,у> | существует z такой, что <х,z> и }={<х,у> | существует z такой, что х – родитель z и z – сестра у}={<х,у> | х – родитель сестры у}={<х,у> | х – отчим у, если сестра сводная}

={<х,у> | существует z такой, что <х,z> и }={<х,у> | существует z такой, что х – сестра z и z – родитель у}={<х,у> | х – сестра родителя у}={<х,у> | х – тетя у}