Matematik analiz ” kafedrasi “Matematik analiz” fanidan kurs ishi mavzu

II bob. Eyler integrallarining tadbiqlari.

1. 
   Баъзи хосмас интегралларни ҳисоблаш.
   

Параметрга боғлиқ интеграллар ва уларнинг функционал хоссаларидан фой­да­ланиб, баъзи хосмас интегралларни ҳисоб­лай­миз.
1⁰. интегрални ҳисоблаш. Бу интегралнинг яқинлашув­чи­лиги 77-маъру­зада келтирилган.
Маълумки,
. (1)
Бу тенгликдаги

параметрга боғлиқ интеграл параметр бўйича ихтиёрий да текис яқинлашувчи бўлади. Бу тасдиқ
,
бўлиши ҳамда Вейерштрасс аломатини қўллашдан келиб чиқади. (1) тенгликни интег­раллаб топамиз:
.
Бу тенгликни чап томонидаги интеграл учун

ва да бўлиб,

бўлади. Натижада да
(2)
бўлиши келиб чиқади.
Энди

тенгликни ўринли эканини (қаралсин, 78-маъруза) эътиборга олиб (2) да да лимитга ўтиб топамиз:
.
2⁰. интегрални ҳисоблаш. Бу интегралнинг да яқинлашувчи бўлиши равшан. Айтайлик, бўл­син. Бу ҳолда интегралда алмаштириш бажариб топамиз:
.
Айтайлик, бўлсин. Бу ҳолда қаралаётган интегралда алмаштириш бажариб топамиз:
.
Айтайлик, бўлсин. Бу ҳолда

бўлади. Демак,

яъни,

бўлади.
3⁰. интегрални ҳисоблаш. Аввало бу параметрга боғ­лиқ хосмас интег­рални яқинлашувчиликка текширамиз. Унинг учун берилган интегрални қуйида­гича ёзиб оламиз:
. (3)
Айтайлик, бўлсин. Бу ҳолда

бўлиб, да ушбу

интегралнинг яқинлашувчи бўлганлигидан, да

интегралнинг ҳам яқинлашувчи бўлиши келиб чиқади.
Айтайлик, бўлсин. Бу ҳолда

бўлиб, да ушбу

интегралнинг яқинлашувчи бўлганлигидан, да

интегралнинг ҳам яқинлашувчи бўлиши келиб чиқади.
Демак, қаралаётган

интеграл да яқинлашувчи бўлади.
Энди интегрални ҳисоблаймиз. Маълумки, да
.
Бу тенгликдан

бўлишини топамиз. Тенгликнинг ўнг томонидаги қатор да текис яқинлашувчи бўлиб, унинг қисмий йиғиндиси

бўлади.
Агар учун

тенгсизликни ҳамда интегралнинг яқинлашув­чан­лигини эъти­бор­га олсак, унда Вейерштрасс аломатига кўра

текис яқинлашувчи бўлади.
Демак,

яъни,

бўлади.
Демак,
. (4)
Энди

интегралда алмаштириш бажарсак, унда

бўлиб, юқоридаги (4) муносабатга кўра
(5)
бўлади. (3), (4) ва (5) муносабатлардан

бўлиши келиб чиқади.
Маълумки,

(қаралсин, 76-маъруза).
Демак,

бўлади.