Matematik analizdan


Download 6.85 Mb.
Pdf просмотр
bet1/26
Sana29.12.2019
Hajmi6.85 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   26
81704

ХшйуЬэзртщ, А Шйзщ, 
2§ ЛЗащгящ, Б, Iftateigiitev
MATEMATIK  ANALIZDAN 
MA’RUZALAR

О ‘ZBEKISTON  RESPUBLIKASI  OLIY VA 
0 ‘RTA  MAXSUS  TA’LIM  VAZIRLIGI
G.  Xudayberganov,  A.K.  Vorisov,
X.T.  Mansurov,  B.A.  Shoimqulov
MATE MATI К ANALIZDAN 
MA’RUZALAR
I
5 4 6 0 1 0 0 —« M a tem a tika » ,  54 40 2 00 —«M exanika»  b a ka la vr 
y o  ‘nalishidagi  talabalar  uchun  о ‘q uv  qo ‘llanm a
« V o ris-n a sh riy o t»  
T o s h k e n t—2010

22.1
Х87
T a q r i z c h i l a r :
fizika-m atem atika  fanlari  doktori,  professor 
R.R.  Ashurov,
fizika-m atem atika  fanlari  doktori,  professor 
R.N .  G‘anixo‘jayev.
M azkur  o ‘quv  qo'llanm a  universitetlarning  m exanika-m atem atika 
fakultetlari, sliuningdek, oliy matematika chuqur dastur asosida o'qitiladigan 
oliy o ‘quv yurtlari talabalariga m o‘ljallangan.
Kitobni yozishda mualliflar ayni davrda m a’qullangan dasturga asoslan- 
dilar  va  0 ‘zbekiston  Milliy  universitetida  ko‘p  yillar  davomida  o ‘qigan 
m a’ruzalaridan foydalandilar.
0 ‘quv qoMlanmada matematik analizning mavzulari m a’ruzalar tarzida 
yozilgan.
Kitobning mazkur qismi 52 m a’ruzadan iborat bo'lib, haqiqiy sonlar, 
funksiya va uning limiti,  uzluksizligi; funksiyaning hosila va differensiallari; 
funksiyaning aniqmas va aniq integrallari,  sonli qatorlar mavzulari bayon 
etilgan.
I
j Ahh
.  .  I-. ij 
2 1
  i
IS B N   978-9943-375-3 0-7
©   « V o ris -n a sh riy o t»   M C h J ,   2010.

S O ‘Z B O SH I
Respublikam izda  «Ta’lim  to ‘g ‘risida»gi  Q o nunning  qabul  qili- 
nishi,  «K adrlar  tayyorlash  Milliy  dasturi»  zam on  talablariga  javob 
beradigan  m utaxassislarni  tayyorlovchi oliy o ‘quv yurtlariga,  ayniqsa, 
universitetlarga  katta  m as’uliyat  yukladi.  Davlat  t a ’lim   standartlari, 
o ‘quv dasturlari asosida darsliklar,  o ‘quv q o ‘llanm alam i yaratish  m asa- 
lasi  yuzaga  keldi.
Davlat ta ’lim  standartlari  barcha  fanlardan, ju m lad an ,  m atem atik 
analiz  b o ‘yicha  m avjud  darslik  va  q o ‘llanm alarga  yangicha  nuqtayi 
nazardan  qarashni  taqozo  etadi.
M atem atik analiz oliy m atem atikaning fundam ental bo'lim laridan 
b o 1 lib,  m atem atikaning  poydevori  hisoblanadi.
M a ’lum ki,  m atem atik  analiz  kursi  davom ida k o ‘pgina tushu nch a 
va  tasdiqlar,  shuningdek,  ularning  tatbiqlari  keltiriladi.
K o‘p  oliy  o ‘quv  yurtlari  talabalarining  o ‘qish  davom ida  duch 
keladigan jiddiy  fanlardan  biri  ham   m atem atik  analizdir.
M atem atik analiz  fanining asosiy vazifasi shu  fanning tush un cha, 
tasdiqlar  va  boshqa  m atem atik  m a ’lum o tlar  m ajm uasi  bilan  tanish- 
tirishdangina iborat b o ‘lm asdan,  balki talabalam i m antiqiy fikrlashga, 
m atem atik usullami amaliy m asalalami yechishga q o ‘llashni o ‘rgatishni 
ham   o ‘z  ichiga  oladi.
M azkur o ‘quv q o ‘llanm a,  m ualliflam ing  ko‘p  yillik tajribalari aso­
sida  yozilgan  b o ‘lib,  u  m a ’ruzalar  shaklida  bayon  etilgan.  M avzu- 
larning m a ’ruzalar b o lyicha bayon  etilishi talabalam i mavzu m azm uni 
va  m ohiyatini  ch uqurroq  anglashga  yordam  beradi  deb  o ‘ylaymiz.
M ualliflar h ar bir m a’aizaning  m azm uni ravon,  m atem atik  q a t’iy, 
o ‘z navbatida,  talaba tom onidan tushunarli b o ‘lishiga harakat qildilar.
0 ‘quv  q o 'lla n m a   ikki  qism d an   iborat.  M azkur  birinchi  qism  
11  bobdan  tashkil  topgan  b o ‘lib,  52  ta  m a ’ruzaga  ajratilgan.  U nda 
haqiqiy  sonlar nazariyasi;  funksiya  limiti  va  uzluksizligi;  funksiyaning 
differensial  va  integral  hisobi  ham d a  sonli  qatorlar  m avzulari  bayon 
etilgan.
3

M a’ruzalarning  m antiqiy  ketm a-ketlikda,  bir-biriga  uzviy bog‘liq 
bo'lishiga,  shuningdek,  tush u nchalarn in g   ravon  bayon  qilinishiga, 
tasdiqlar  isbotlarining  aniq,  ilm iylikka  asoslangan  b o ‘lishiga  e 'tib o r 
qaratilgan.  H a r  bir  m a'ru za  so ‘ngida  nazariy  va  amaliy  aham iyatga 
ega b o ‘lgan  m ashqlar keltirilgan.  0 ‘ylaymizki,  bunday m ashqlar tala- 
balarni  m ustaqil  ishlashga,  m antiqiy  fikrlashga  o ‘rgatadi.
« M atem atik   an alizd an   m a ’ruzalar»  m atem atik a  va  m exanika 
yo‘nalishlari b o ‘yicha bakalavrlar tayyorlash o ‘quv rejasiga m oslashtirib 
yozilgan b o ‘lsa-da, un dan  m atem atika kengroq o ‘qitiladigan oliy o ‘quv 
yurtlari  talabalari  ham   foydalanishlari  m um kin.
Kitob  m ualliflari,  shu  soh a  m utaxassislari  0 ‘zbekiston  M illiy 
universitetida  k o ‘p  yillar  m obaynida  m azkur  kurs  b o ‘yicha  o ‘qigan 
m a ’ruzalaridan  foydalandilar.
K itobda m atem atik belgilardan  keng foydalanish bilan bir qatorda 
tasdiqlar  isbotining  boshlanganligini  «-^»  belgi,  tugaganligi  esa  «►» 
belgi  orqali  ifodalangan.
K itob  q o ‘lyozm asini  sinchik lab  o ‘qib  chiqib,  u n in g   ilm iy  va 
m etodik jih a td a n   yaxshilanishiga  o ‘z  hissalarini  q o ‘shganlari  u ch u n  
professorlar  R.A shurov,  R .G ‘an ix o ‘jayevlarga  m ualliflar o ‘z  m in n at- 
dorchiligini bildiradilar.
4

1- в о в
DASTLABKI  MA’LUMOTLAR
1- 
m a’ruza 
To‘plamlar.  To‘plamlar ustida  amallar
1°.  T o‘plam  tushunchasi.  T o ‘plam   m atem atikaning boshlang'ich, 
ayni  paytda  m uhim   tu sh u n c h a larid a n   biri.  U ni  ixtiyoriy  tabiatli 
narsalarning  (predm etlarning)  m a ’lum  belgiiar  h o ‘yicha  birlashm asi 
(m ajm uasi)  sifatida tushuniladi.  M asalan, javondagi  kitoblar to ‘plam i, 
b ir  n u q tad a n   o ‘tuvchi  t o ‘g ‘ri  chiziqlar  to ‘plam i,  x 2 - 5 x  + 6  = 0 
tenglam aning  ildizlari  to ‘plam i  deyilishi  m um kin.
T o 'p la m n i  tashkil  etgan  narsalar  uning elementlari deyiladi.
M atem atikada to ‘p lam la rb o sh  harflar bilan,  ularning elem entlari 
esa  kichik  harflar  bilan  belgilanadi.  M asalan,  А,  В,  С  —  to ‘plam lar, 
a,  b,  с —  to ‘plam ning  elem entlari.
Ba’zan to ‘plam lar u larning elem entlarini  ko‘rsatish bilan yoziladi:
A  = {2,  4,  6,  8,  10,  12},
  ={1,  2,  3, 
n,  ...},
Z   =  {...,  - 2 ,   - 1 ,   0,  1,  2,  ...  }.
Agar  a biror A to 'p la m n in g   elem enti  bo ‘Isa,  a s A  kabi  yoziladi va 
«a  elem ent A  to ‘plam ga  tegishli»  deb  o ‘qiladi.  Agar  a shu  to ‘plam ga 
tegishli  b o ‘lmasa,  uni  a e A   kabi  yoziladi  va  «о  elem ent  A  to 'p lam ga 
tegishli  emas»  deb  o ‘qiladi.  M asalan,  yuqoridagi  A to 'p la m d a   10e A , 
15 eA .
Agar  A  chekli  sondagi  elem entlardan  tashkil  topgan  b o ‘lsa,  u 
c h e k li  t o ‘p la m ,  aks  h o ld a   c h e k siz  t o ‘plam   d e y ila d i.  M a sa la n , 
A= {2,  4,  6,  8,  10,  12}  chekli  t o ‘plam ,  bir  nuqtadan  o ‘tuvchi  barcha 
to ‘g‘ri  chiziqlar  to ‘plam i  esa  cheksiz  to ‘plam   bo'ladi.
1- 
t a ’rif. A va  Z?to‘plam lari  berilgan  b o ‘lib, A to ‘plam ning barcha 
elem entlari  # t o ‘plam ga tegishli b o ‘lsa,  A  to ‘plam  В ning qismi (qismiy 
to ‘plam)  deyiladi  va
А  с   В (yoki  Bz> A)
kabi  yoziladi.
5

A  to'plam ning elementlari orasida biror xususiyatga  (bu xususiyatni 
  bilan  belgilaym iz)  ega  bo'lad ig an lari  bo'lishi  m um kin.  Bunday 
xususiyatli  elem entlardan  tuzilgan  to 'p la m   quyidagicha
{x e  A \Z5}
deb  belgilanadi.  Ravshanki,
{x e  A \P ]  cz  A
b o 'lad i.
A gar  A  to 'p la m   elem en tlari  o rasid a    xususiyatli  e le m en tlar 
b o 'lm asa,  u  holda
{x e  A \P )
bitta  ham   elem entga  ega bo 'lm ag an   to 'p la m  b o 'lib ,  uni  bo'sh  to'plam 
deyiladi.  B o'sh  to 'p la m   0   kabi  belgilanadi.  M asalan,  x 2  + x  + 1  =  0 
tenglam aning  haqiqiy  ildizlaridan  iborat  A  b o 'sh   to 'p la m   bo'ladi:
0   {x e  A \x 2  + x  +  1  =  0}.
H ar  qanday  A  to 'p la m   uch u n
A  cz A,  0   с  A
deb  qaraladi.
O datda,  A to 'p lam n in g  barch a qism iy to 'p lam larid an   iborat t o 'p ­
lam   F{A)  kabi  belgilanadi.  M asalan,  A  =  {a,  b,  c}  to 'p la m   uchun
F { A )   = {{a],  {6},  {c},  {a,  b },  {a,  c } ,  {Z>,  c},  {a,  b,  c } , 0 }
b o 'lad i.
2 - t a ’rif.  A  va  В to 'plam lari  berilgan  b o 'lib ,
А  с   В,  В a  A 
b o 'lsa ,  A  va  В  bir  biriga  teng  to'plam lar  deyiladi  va
A  =   В
kabi  yoziladi.
D em ak, A =  В  tenglik A va 5 t o ‘plam larning bir xil elem entlardan 
tashkil  topganligini  bildiradi.
2°. To‘plamlar ustida amallar.  Ikki A va В to'plam lar berilgan bo'lsin.
3 - ta ’r i f   A  va  В  to 'p lam larning   b arch a  elem entlaridan  tashkil 
topgan  E to 'p la m   A  va  В  to'plamlar yig'indisi  (birlashmasi)  deyiladi 
va  A В  kabi  belgilanadi:  E =   A (J  B.
6

D em ak,  bu  holda  a s A { j   В  dan  a e A   yoki  ae B,  yoki  bir  vaqtda 
a s A,  a s В bo'lishi  kelib  chiqadi.
4 - t a ’rif.  A  va  В  to ‘plam larning  barcha  um um iy  elem entlaridan 
tashkil  topgan  F to ‘plam   A  va  В  to ‘plamlar k o ‘paytm asi  (kesishmasi) 
deyiladi  va  А П  В  kabi  belgilanadi:
F =  А П  B.
D em ak,  bu  holda  a s A C \B   dan  bir  vaqtda  a e A ,  a e B   b o ‘lishi 
kelib  chiqadi.
5 - ta ’r i f   A  to ‘plam ning  В  to ‘plam ga  tegishli  b o ‘lmagan  barcha 
elem entlaridan  tashkil  topgan  to ‘plam   A  t o ‘plam dan  В to ‘plamning 
ayirmasi  deyiladi  va  A \B   kabi  belgilanadi:
G = A \ B   .
D em ak,  a s A \ B  dan  a e A ,  tfg /? b o ‘lishi  kelib  chiqadi.
6- ta ’r i f   A  to ‘plam ning  В ga  tegishli  bo 'lm ag an  barcha  elem en t­
laridan va В to ‘plam ning A ga tegishli b o ‘lmagan barcha elem entlaridan 
tuzilgan  to ‘plam   A  va  В  to ‘plamlarning  simmetrik  ayirmasi  deyiladi 
va  A A  В  kabi  belgilanadi:
A A В  =  { A \B )\J { B \4 ).
D em ak,  a s A A  В  b o ‘lishidan  a s A ,  a e B   yoki  a e B ,  a e A   b o ‘lishi 
kelib  chiqadi.
7 - ta ’r i f   Aytaylik,  a s A,  a e  i? b o ‘lsin.  Barcha  tartiblangan  (a,  b) 
ko‘rinishidagi  juftliklardan  tuzilgan  to 'p la m   A  va  В  to ‘plamlarning 
dekart  k o ‘paytmasi  deyiladi  va  A * B   kabi  belgilanadi.  D em ak,
A x  В  = {(я, b) \a e  A,  b s B }•
X ususan,  A  =  В  bo'lganda  A  x  A  =  A 2  deb  qaraladi.
8- ta ’rif. Aytaylik,    va A to ‘plam lar berilgan b o‘lib, / 1 с 5   boMsin. 
Ushbu
S\A
to 'p la m   A  to ‘plam ni    ga  to ‘ldiruvchi  to ‘p la m   deyiladi  va  CA  yoki 
CSA  kabi  belgilanadi:
CA  = S \ A   .
T o ‘p lam lar  ustida  bajariladigan  am allarn in g   b a ’zi  xossalarini 
keltiram iz.
A,  В va  D to 'p lam lari  berilgan  b o ‘lsin.
7

1)  А с   В,  В a   D  bo'lsa,  A c   D  bo'ladi;
2)  A [ j A   =  А,  А П А  =  A  b o'ladi;
3)  А  с   В b o 'lsa,  A U   В  =   В,  А П В  =   A  b o 'lad i;
4)  A U B   =   B U A ,   А П   В  =   В П А   bo'ladi;
5)  ( A U B ) U D  =  A U ( B U D ) ,   ( А П В ) П Я  =  Л П ( В П О )   bo'ladi;
6)  А  с   5   bo'lsa,  А Г)  СА  =   0 ;
7)  С( А  U  В)   =  САП СВ,   bunda  A  czS,  В  с  5;
8)  С (А   n B )   =  C A U C B ,   bu nd a  А  с   S,  В  с  S.
Bu  x ossalarning  isboti  y u q o rid a  keltirilgan  t a ’riflard an   kelib 
chiqadi.
1- misol.  U shbu
н \ я ) и ( я \ л )   =  м и я ) \ м п я )  
(i)
tenglik isbotlansin.
A   a e  {A  \   B)  ( B  \   A)   bo 'lsin .  U  holda
о e  (Л  \   /? ):  a e  A,   a £  В
yoki
a e  ( В \   A ):  a e   B,   a £  A
bo 'lad i.  B undan  esa
a e ( A \ J B ) ,   а е ( А П В )
b o 'lib ,
a e  ( Л и Я ) \ М П Я )  
bo 'lish i  kelib  chiqadi.  D em ak,
( Л \ Я ) и ( Д \ Л ) с ( Л и Я ) \ ( Л Г ) Я ) .  
(2)
Aytaylik,  a e  (A  B ) \  (А  П  B)   bo'lsin.
U  holda
a e ( A [ ) B ) \   a e A  
yoki  a e B  
а ^ { А П В ) \   a e A ,   a 
В  yoki  a < = A , a < t B ,   yoki  a e A , a e B  
bo'lad i.  B undan  esa
a e  A  \   В  yoki  a e  В  \   A 
b o 'lib , 
я е   ( Л \ Я ) 1 1 ( Я \ Л )
b o 'lish i  kelib  chiqadi.  D em ak,
Н и Я ) \ ( Л П Я ) с ( Л \ Я ) и ( Я \ Л ) .  
(2)
(2) va  (3)  m un osabatlardan (1) tenglikning o 'rin li bo'lishi topiladi.  ►

T o ‘plam lar ustida bajariladigan  am allarni  bayon  etishda  to 'p la m - 
larning qanday tabiatli  elem entlardan  tuzilganligiga e ’tibor qilinm adi.
Aslida,  keltirilgan  am allar  biror  universal  to ‘plam   deb  ataluvchi 
to'plam ning qismiy to'plam lari  ustida bajariladi  deb qaraladi.  M asalan, 
natural sonlar to ‘plam lari ustida am allar bajariladigan bo'lsa,  universal 
t o ‘plam   sifatida  barch a  natural  sonlardan  iborat    to 'p lam n i  olish 
m umkin.
3°.  M atematik  belgilar.  M atem atikada  tez -te z   uchraydigan  so‘z 
va so‘z birikmalari o ‘m id a maxsus belgilar ishlatiladi.  U lardan m uhim - 
larini  keltiramiz:
1)  «agar  ...  bo'lsa,  u  holda  ...  bo'ladi»  iborasi  «=>»  belgi  orqali 
yoziladi;
2)  ikki  iboraning  ekvivalentligi  ushbu  « « »   belgi  orqali  yoziladi;
3)  «har  qanday»,  «ixtiyoriy»,  «barchasi  uchun»  so ‘zlari  o ‘rniga 
«V»  belgi  ishlatiladi;
4)  «mavjudki»,  «topiladiki»  so ‘zlari  o ‘rniga  «3»  m avjudlik  belgisi 
ishlatiladi.
Mashqlar
1.  U shbu 
M U 5 ) \ 0   =  ( > 4 \ / ) ) U ( £ \ D )  
tenglik isbotlansin.
2.  Agar A va  В chekli to ‘plam lar b o ‘lib,  ularning elem entlari soni 
m os  ravishda  n(A),  n(B)  bo'lsa,
n ( A \ J B )   =   n ( A )  +  n { B ) - n ( A r \ B )  
b o ‘lishi  isbotlansin.
3.  Agar A  chekli  to 'p la m   b o'lib,  uning  elem entlarining  soni  n  ga 
teng  bo'lsa,  bu  to 'p lam n in g   barcha  qismiy  to 'p lam lari  to 'p la m i  F(A) 
ning  elem entlari  soni  2" ga  teng  ekani  isbotlansin.
2- 
та ’ruza 
Akslantirishlar  va  ularning  turlari
1°.  Akslantirish  tushunchasi.  E va  F to 'p lam lar  berilgan  bo'lsin.
1- 
ta ’rif.  Agar    to'plam dan  olingan  har  bir    elementga  biror /  
qoida yoki  qonunga  k o 'ra   F to 'p lam n in g   bitta  у  elem enti  (ye F)  m os 
qo'yilgan bo'lsa,  E  to ‘plamni F  to ‘plamga akslantirish  berilgan  deyiladi va
9

/   :  Е   ->  F   yoki   -> у  ,  (*  6  E .  у  e  F )
kabi belgilanadi.  Bunda  £ t o ‘p]am /akslantirish nin g  aniqlanish to'plami 
deyiladi.
1- 
misol.  U shbu  N  =  (1,2,3,...}  va  N '  =  | l .   ^  ^ ,  ... }  to ‘plam lar 
berilgan  b o ‘Isin.
1)  har bir  natural  n  (ne N)  songa  1  ( -   e  N '\   sonni  m os  q o ‘ysak,
n  \ n  
I
unda
f : N   -»  ЛГ, 

ft
akslantirish  hosil  b o ‘ladi.  U ni  f ( n )   =  -   kabi  ham   yoziladi.
П
I  / I 
/ N
2)  har  bir  n atu ral  n  {ne N)  songa 

,  e  N '\  
sonni  m os
П
  \ ГГ 
j
q o ‘ysak,  unda
<p:N  —>  N \   n —> \
П
akslantirishga  ega  b o ‘lam iz:  ф(«)  =  Л - .
ri-
3)  h a r  bir  natural  n  ( n e N )   songa  1  (1 e /V')  sonini  m os  q o ‘yish 
natijasida
g :N   —> N ',  n —>1
akslantirish  hosil  b o ‘ladi:  g(n)  —  1.
Aytaylik,
f  :E  ->  F
akslantirish berilgan b o ‘lsin. xe elem entga mos q o ‘yilgan y e  / ’elem ent 
x   ning aksi  (obrazi)  deyiladi  va  у   = f { x )   kabi  belgilanadi.
Endi ye elem entni olaylik.   to'plam ning shunday x  elem entlarini 
qaraym izki, / ( x )   =   у   bo'lsin .  B unday xe  elem entlar ye  ning  asli 
(proobrazi)  deyiladi  va / -1(y)  kabi  belgilanadi:
/ - ‘ (y)  =  { x e   £ | / ( x )   =  y}.
/

{ / ( x )   | x e   A ]
to'plam   A  to'plamning  F dagi  aksi  deyiladi  va f ( A )   kabi  belgilanadi: 
f ( A )   =  { / ( x )   x e   A ) .
Agar  В  с   /"b o 'lsa,  ushbu
{ x e    j / ( x )  e  В } 
to 'p la m   В to ‘plamning E  dagi asli deyiladi va  f   l(B)  kabi belgilanadi: 
/   1  (fi)  = { x e   E \ f ( x ) e   B } .
2 - misol.  Faraz  qilaylik,  N  =  {1,  2,  3 , ...,  я , ...}  va  M{ ~  1,  +1} 
to 'p la m la r  berilgan  b o 'lib ,  ushbu
/   :  N  ->  M
akslantirish quyidagi
An) = {-\y
ko'rin ish d a bo'lsin.
R av sh an k i,  5e /V  n in g   aksi  / ( 5 )   =   —1;  \ e  M   ning  asli  esa 
/ " ’ (1)  =  {2,  4,  6,  ...}  bo'ladi.  Shuningdek,  A  =  {3,  4}  с   N  to'plam ­
ning  aksi  f ( A )   =  { - 1,  1 }  =  M;   В  =  {-1} с     to'p lam n in g   asli  esa
Г , ш   =  {1,  3,  5,  ...}
b o 'lad i.
Faraz  qilaylik,  A  va  В to 'p la m la r  /  to 'p lam n in g   qismiy  to 'p la m - 
lari  bo'lsin:  A c   F,  В с  F.  U nda
Г ' ( А Г \ В )   =  Г 1( А ) Г \ Г ' Ш  
(1)
b o 'lad i.
Aytaylik, 
x e f ~ l ( A ( \ B )  
bo'lsin. 
U nda 
/ ( х ) е Л П - б  
bo'lib,  / ( x )  e  A  va  f ( x ) e B   bo 'lad i.  Keyingi  m unosabatlardan 
x e   f ~ x ( A ) , x e   / " ’  ( В)  
b o 'lishi 
kelib 
chiqadi. 
D em ak, 
x  e  / - '   (Л ) fl f ~ x  ( B ) .  B undan  esa
Г ' ( А П В ) с Г 1{ А ) П Г \ В )  
(2)
bo'lishin i  topam iz.
Agar  А  с   E  bo'lsa,  ushbu

A ytaylik,  x e   f   1 ( / 4) D / “' ( B)   b o 'lsin .  U nd a  x e   f ' ] ( A)   va 
x e   /   ' ( B )  
b o ‘l i b,  
f ( x ) e   A ,   f ( x ) e   В 
b o ‘la d i. 
Na t i j a s i  
f ( x )  e  А Г)  В  bo'lib,  undan  x e  f ~ x ( А  П  B)   b o ‘lishini  topam iz.  Bu
Г ' ( А ) П Г ' ( В ) с Г ’ ( А П В )  
(3)
b o ‘lishini  bildiradi.
(2) 
va  (3)  m unosabatlardan  (1)  tenglikning  o ‘rinli  b o lis h i  kelib 
chiqadi.  ►
Yuqoridagidek,
r ' ( A U B )   = r ' ( A ) U r ' ( B ) ,
f ( A U B )   =  f ( A ) U f ( B )  
tengliklarning  o ‘rinli  b o ‘lishi  isbotlanadi.
2°.  Akslantirishning  tur lari.  Aytaylik,
f   :  E   - *  F  
(4)
akslantirish  berilgan  b o lib , f ( E )   esa   to ‘plam ning  aksi  b o ‘lsin:
f ( E )   -  { / ( * )  |  x e  £ } .
2 - t a ’rif.  Agar (4)  akslantirishda
f ( E )   с   F
b o ‘lsa,  (4)  akslantirish  E   to ‘plam ni  F  to'plamning  ichiga  akslantirish 
deyiladi.
M asalan.
N   =  {1,  2,  3,  ...},  N ’  = j l ,  A,  ' ,   ...} 
to ‘plam lar  uch u n  ushbu.
f:N-^N', n^±
n
akslantirish   to ‘plam ni  N '   to 'p la m n in g   ichiga  akslantirish  b o ‘ladi.
3 -  ta ’rif.  Agar (4)  akslantirishda
f ( E )   = F
b o ‘lsa,  (4)  akslantirish  E  to ‘plam ni  F  to'plamning  ustiga  akslantirish 
(syuryektiv  akslantirish)   deyiladi.

M asalan.
/V  =  {1,  2,  3,  ...},    =  {-1,  1  }
i
to 'p la m la r  uch un  
л - » ( - 1 ) л
akslantirish  yvto'plam ni   to 'p lam n in g   ustiga  akslantirish  bo'ladi.
4 - t a ’rif.  Agar  (4)  ustiga  ak slan tirish  b o 'lib ,  bu  akslantirish 
  to 'p la m n in g   turli  elem entlarini    to 'p lam n in g   turli  elem entlariga 
akslantirsa,  (4)  inyektiv  akslantirish  deyiladi.
5 -  ta ’rif.  Agar (4)  ustiga akslantirish  bo 'lib,  u  inyektiv  akslantirsh 
ham   bo'lsa.  (4)  o'zaro  bir qiymatli  akslantirish  (moslik)  deyiladi.
M asalan,
N = {  1,  2,  3,  ...},  yV'  = jl, 
1 ,  ...J
to 'p la m la r  u ch u n   ushbu
f : N - > N \   n  U   1 
n
akslantirish  o 'z a ro   bir qiymatli  akslantirish  bo'ladi.
6-  ta ’rif.  f   :  E  
  akslantirish  o 'z a ro  b ir qiym atli  akslantirish 
bo'lsin.  /   to 'p lam n in g   har  bir  y,  (yeF )  elem entiga    to'plam n ing  
bitta  x  elem entini  (xe F)  m os  qo'yadigan  va



Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   26


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2019
ma'muriyatiga murojaat qiling